Exercício 121. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(6 x y, 3 x^{2}+2 y\right) e C é o segmento de reta de (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}F\cdot d r
do campo vetorial F(x,y)=(6xy,\;3x^2+2y) sobre o segmento de reta C de (0,0) a (1,1).
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial usando parametrização de curvas.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = (x(t),y(t)) = (t,t),\quad t\in[0,1].
Então
d r = (x'(t),y'(t))\,dt = (1,1)\,dt.

Passo 3

No parâmetro t, temos
F\bigl(r(t)\bigr) = \bigl(6\,x(t)\,y(t),\;3\,x(t)^2+2\,y(t)\bigr) = \bigl(6t^2,\;3t^2+2t\bigr).
O produto escalar é
F\bigl(r(t)\bigr)\cdot d r = \bigl(6t^2,\;3t^2+2t\bigr)\cdot(1,1)\,dt = \bigl(6t^2 + 3t^2 + 2t\bigr)\,dt = (9t^2+2t)\,dt.

Passo 4

Agora integramos em t de 0 a 1:
\int_{C}F\cdot d r = \int_{0}^{1}(9t^2+2t)\,dt = 9\int_{0}^{1}t^2\,dt + 2\int_{0}^{1}t\,dt = 9\cdot\frac{1}{3} + 2\cdot\frac{1}{2} = 3 + 1 = 4.

Resposta

\displaystyle 4

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