Exercício 134. Use o teorema de Green para calcule
, onde
e
é a fronteira da região limitada por
e
orientada positivamente.
Passo 1
O problema pede para calcular o integral de linha
, onde
e
é a fronteira da região limitada pelas curvas
e
, orientada positivamente. Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:
- A curva
é a fronteira da região limitada por e . - A orientação é positiva (ou seja, sentido anti-horário / contorno mantido à esquerda do domínio).
- A função vetorial tem componentes
e . - As interseções das curvas são obtidas resolvendo simultaneamente
e ; essas interseções acontecem em e .
Nada mais foi pedido além de.
Passo 2
Apresentando a ferramenta que vamos usar (a ideia e a fórmula, explicadas devagar):
- Teorema de Green (forma do plano): para uma região
simples e com fronteira orientada positivamente, se tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de , então
- Interpretação dos símbolos:
e são as componentes do campo vetorial; é a derivada parcial de em relação a ; é a derivada parcial de em relação a ; representa um elemento de área no domínio .
Aplicando isso ao nosso: -
e . - Calcular as derivadas parciais:
- Então o rotacional (ou integrando pelo teorema de Green) é
Passo 3
Descrição precisa da região
e escolha da ordem de integração:
- As curvas são
(parábola vertical, abre para cima) e (parábola horizontal, abre para a direita). - Interseções: substituindo
em obtém-se , logo , ou , dando e . Assim os pontos de interseção são e . - Para
, comparar nas duas curvas: na curva tem-se ; na curva resolvida para dá . Para vale . Logo, para cada o varia de (limite esquerdo) até (limite direito). - Portanto é natural integrar primeiro em
e depois em , com os limites
Passo 4
Montagem do integral duplo usando Green:
- Pelo teorema de Green,
- Com os limites identificados, escrevemos o integral como
Passo 5
Cálculo da integral interna (integral em
):
- Calcular
. - Primitiva de
em é . Assim
- Simplificando potências:
- Então a integral interna fica
Passo 6
Cálculo da integral externa (integral em
) e simplificação final:
- Agora integrar de
a :
- Calcular cada primitiva:
- Somando com os sinais apropriados:
- Fazer a soma passo a passo:
. Depois . Finalmente . - Logo o valor do integral duplo (e, por Green, do integral de linha) é
.