Exercício 134. Use o teorema de Green para calcule \oint_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(2 x y-x^{2}, x-y^{2}\right) e C é a fronteira da região limitada por y=x^{2} e y^{2}=x orientada positivamente.

Passo 1

O problema pede para calcular o integral de linha \oint_{C} F\cdot d r, onde F(x,y)=\bigl(2xy-x^{2},\,x-y^{2}\bigr) e C é a fronteira da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y^{2}=x, orientada positivamente. Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:
  • A curva C é a fronteira da região D limitada por \,y=x^{2}\, e \,y^{2}=x.
  • A orientação é positiva (ou seja, sentido anti-horário / contorno mantido à esquerda do domínio).
  • A função vetorial tem componentes P(x,y)=2xy-x^{2} e Q(x,y)=x-y^{2}.
  • As interseções das curvas são obtidas resolvendo simultaneamente y=x^{2} e x=y^{2}; essas interseções acontecem em (0,0) e (1,1).
    Nada mais foi pedido além de \oint_{C}F\cdot d r.

Passo 2

Apresentando a ferramenta que vamos usar (a ideia e a fórmula, explicadas devagar):
  • Teorema de Green (forma do plano): para uma região D simples e com fronteira C orientada positivamente, se F=(P,Q) tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • Interpretação dos símbolos: P e Q são as componentes do campo vetorial; \partial Q/\partial x é a derivada parcial de Q em relação a x; \partial P/\partial y é a derivada parcial de P em relação a y; dA representa um elemento de área no domínio D.
    Aplicando isso ao nosso F:
  • P(x,y)=2xy-x^{2} e Q(x,y)=x-y^{2}.
  • Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=2x.
  • Então o rotacional (ou integrando pelo teorema de Green) é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-2x.

Passo 3

Descrição precisa da região D e escolha da ordem de integração:
  • As curvas são y=x^{2} (parábola vertical, abre para cima) e x=y^{2} (parábola horizontal, abre para a direita).
  • Interseções: substituindo x=y^{2} em y=x^{2} obtém-se y=(y^{2})^{2}=y^{4}, logo y^{4}-y=0, ou y(y^{3}-1)=0, dando y=0 e y=1. Assim os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).
  • Para 0\le y\le1, comparar x nas duas curvas: na curva x=y^{2} tem-se x=y^{2}; na curva y=x^{2} resolvida para x\ge0 x=\sqrt{y}. Para 0<y<1 vale y^{2}<\sqrt{y}. Logo, para cada y\in[0,1] o x varia de x=y^{2} (limite esquerdo) até x=\sqrt{y} (limite direito).
  • Portanto é natural integrar primeiro em x e depois em y, com os limites
0\le y\le1,\qquad y^{2}\le x\le\sqrt{y}.

Passo 4

Montagem do integral duplo usando Green:
  • Pelo teorema de Green,
\oint_{C}F\cdot d r=\iint_{D}\bigl(1-2x\bigr)\,dA.
  • Com os limites identificados, escrevemos o integral como
\iint_{D}\bigl(1-2x\bigr)\,dA=\int_{y=0}^{1}\int_{x=y^{2}}^{\sqrt{y}}\bigl(1-2x\bigr)\,dx\,dy.

Passo 5

Cálculo da integral interna (integral em x):
  • Calcular \displaystyle \int_{x=y^{2}}^{\sqrt{y}}\bigl(1-2x\bigr)\,dx.
  • Primitiva de 1-2x em x é x-x^{2}. Assim
\int_{x=y^{2}}^{\sqrt{y}}\bigl(1-2x\bigr)\,dx=\bigl[x-x^{2}\bigr]_{x=y^{2}}^{x=\sqrt{y}} =\bigl(\sqrt{y}-(\sqrt{y})^{2}\bigr)-\bigl(y^{2}-(y^{2})^{2}\bigr).
  • Simplificando potências:
\sqrt{y}-(\sqrt{y})^{2}=\sqrt{y}-y, \qquad y^{2}-(y^{2})^{2}=y^{2}-y^{4}.
  • Então a integral interna fica
\sqrt{y}-y-\bigl(y^{2}-y^{4}\bigr)=\sqrt{y}-y-y^{2}+y^{4}.

Passo 6

Cálculo da integral externa (integral em y) e simplificação final:
  • Agora integrar de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{y}-y-y^{2}+y^{4}\bigr)\,dy =\int_{0}^{1}y^{1/2}\,dy-\int_{0}^{1}y\,dy-\int_{0}^{1}y^{2}\,dy+\int_{0}^{1}y^{4}\,dy.
  • Calcular cada primitiva:
\int_{0}^{1}y^{1/2}\,dy=\left.\frac{2}{3}y^{3/2}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{3},
\int_{0}^{1}y\,dy=\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2},
\int_{0}^{1}y^{2}\,dy=\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3},
\int_{0}^{1}y^{4}\,dy=\left.\frac{y^{5}}{5}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{5}.
  • Somando com os sinais apropriados:
\frac{2}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}.
  • Fazer a soma passo a passo: \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}. Depois \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-3}{6}=-\dfrac{1}{6}. Finalmente -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{-5+6}{30}=\dfrac{1}{30}.
  • Logo o valor do integral duplo (e, por Green, do integral de linha) é \dfrac{1}{30}.

Resposta

\dfrac{1}{30}

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