Exercício 13. (Apostol, capítulo 8.14, exercício 7) Seja
e
diferenciáveis, em que
é um aberto.
Mostre que se
e
, para todo
, então
é uma constante.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável e satisfaz
para todo
. Queremos mostrar que isso implica em
constante. Vamos usar que o gradiente dá as derivadas direcionais e aplicar a regra da cadeia numa reta que liga pontos arbitrários.
Passo 2
Sejam
. Considere o traço da reta de
a
dado por
, com
. Defina
Pela regra da cadeia, como
, temos
Mas
em todo ponto, então
para todo
.
Passo 3
Se
em
, o teorema fundamental do cálculo diz que
é constante. Logo
Como
e
eram quaisquer em
, conclui-se que
assume sempre o mesmo valor.