Exercício 13. (Apostol, capítulo 8.14, exercício 7) Seja f: S R e g: S R diferenciáveis, em que S subset R^n é um aberto.
Mostre que se S=R^n e nabla f(x)=0, para todo x in R^n, então f é uma constante.

Passo 1

O enunciado diz que f:R^ntoR é diferenciável e satisfaz nabla f(x)=0 para todo xinR^n. Queremos mostrar que isso implica em f constante. Vamos usar que o gradiente dá as derivadas direcionais e aplicar a regra da cadeia numa reta que liga pontos arbitrários.

Passo 2

Sejam a,binR^n. Considere o traço da reta de a a b dado por gamma(t)=a+t(b-a), com tin[0,1]. Defina
varphi(t)=f(gamma(t)),
Pela regra da cadeia, como gamma'(t)=b-a, temos
varphi'(t) =nabla fl(gamma(t)r)cdotgamma'(t) =nabla fl(a+t(b-a)r)cdot(b-a)
Mas nabla f=0 em todo ponto, então varphi'(t)=0 para todo t.

Passo 3

Se varphi'(t)=0 em [0,1], o teorema fundamental do cálculo diz que varphi é constante. Logo
f(b)=varphi(1)=varphi(0)=f(a)
Como a e b eram quaisquer em R^n, conclui-se que f assume sempre o mesmo valor.

Resposta

f é constante em R^n.

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