Exercício 13. (Apostol, capítulo 8.14, exercício 7) Seja f: S R e g: S R diferenciáveis, em que S subset R^n é um aberto.
nabla(fg)=g nabla f-f nabla gg^2.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções diferenciáveis
;fcolon StoR e ;gcolon StoR,
onde SsubsetR^n é aberto e g(x)neq0 em S.
Queremos mostrar que a função
h(x)=f(x)g(x)
é diferenciável e que seu gradiente satisfaz
nabla h(x) =,g(x),nabla f(x);-;f(x),nabla g(x),g(x)^2
Para isso vamos usar a regra da cadeia e o fato de que a função quociente
;Q(u,v)=u/v em R^2 tem um gradiente conhecido.

Passo 2

Defina
Fcolon StoR^2, F(x)=l(f(x),,g(x)r)
e
Qcolon (u,v)inR^2:vneq0toR, Q(u,v)=uv
Então h=Qcirc F. Como f e g são diferenciáveis e Q também (quando vneq0), segue da regra da cadeia que h é diferenciável em S.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de Q. Para (u,v) com vneq0:
– A derivada parcial de Q em relação a u é
partial Qpartial u(u,v) =1v
– A derivada parcial de Q em relação a v é
partial Qpartial v(u,v) =-uv^2
Portanto
nabla Q(u,v) =l(tfrac1v,;-tfracuv^2r)

Passo 4

Pela regra da cadeia para gradientes, em xin S vale
nabla h(x) =nablal(Qcirc Fr)(x) =D Ql(F(x)r),circ,D F(x)
Escrevendo em componentes, isso dá
nabla h(x) =partial Qpartial ul(f(x),g(x)r),nabla f(x) ;+;partial Qpartial vl(f(x),g(x)r),nabla g(x)
Substituindo os valores de partialuQ e partialvQ do passo anterior, obtemos
nabla h(x) =1g(x),nabla f(x) ;+;l(-f(x)g(x)^2r),nabla g(x) =g(x),nabla f(x)-f(x),nabla g(x)g(x)^2

Resposta

nabla!l(tfracfgr)(x) =g(x),nabla f(x)-f(x),nabla g(x)g(x)^2

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