Exercício 13. (Apostol, capítulo 8.14, exercício 7) Seja
e
diferenciáveis, em que
é um aberto.
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções diferenciáveis
e
,
onde é aberto e
em
.
Queremos mostrar que a função
onde
Queremos mostrar que a função
é diferenciável e que seu gradiente satisfaz
Para isso vamos usar a regra da cadeia e o fato de que a função quociente
em
tem um gradiente conhecido.
Passo 2
Defina
e
Então
. Como
e
são diferenciáveis e
também (quando
), segue da regra da cadeia que
é diferenciável em
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. Para
com
:
– A derivada parcial de em relação a
é
– A derivada parcial de
– A derivada parcial de
em relação a
é
Portanto
Passo 4
Pela regra da cadeia para gradientes, em
vale
Escrevendo em componentes, isso dá
Substituindo os valores de
e
do passo anterior, obtemos