(2.5 pt) Resolve o problema do valor inicial
d y+\left((\tan x) y-\cos ^{2} x\right) d x=0, y(0)=-1 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
d y+\bigl((\tan x)\,y-\cos^{2}x\bigr)\,d x=0,
com a condição y(0)=-1. Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e então aplicar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação no formato padrão dividindo tudo por dx:
\frac{dy}{dx}+(\tan x)\,y=\cos^{2}x.
Aqui identificamos
P(x)=\tan x \quad\text{e}\quad Q(x)=\cos^{2}x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x)=e^{\displaystyle\int P(x)\,dx}. Como
\int\tan x\,dx=-\ln\lvert\cos x\rvert,
temos
\mu(x)=e^{-\ln\lvert\cos x\rvert}=\frac1{\cos x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x)=\operatorname{sec} x. O lado esquerdo fica a derivada do produto \mu\,y:
\operatorname{sec} x\,\frac{dy}{dx}+\operatorname{sec} x\tan x\,y =\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\,y\bigr).
O lado direito é
\operatorname{sec} x\cdot\cos^{2}x=\cos x.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\,y\bigr)=\cos x.
Integrando ambos os lados em relação a x:
\operatorname{sec} x\,y=\int\cos x\,dx=\sin x+C.

Passo 5

Isolamos y:
y=\cos x\;(\sin x+C).
Usamos a condição inicial y(0)=-1. Como \cos0=1 e \sin0=0, obtemos
y(0)=1\cdot(0+C)=C=-1.
Logo a solução particular é
y(x)=\cos x\;(\sin x - 1).

Resposta

y(x)=\cos x\,(\sin x - 1).

Exercícios relacionados