Exercício 2.14 Calcule \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}. Ajuda: Utilize coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando (x,y) se aproxima de (0,0):
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão analisada é \dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto ao qual nos aproximamos é (x,y)=(0,0), onde a função não está definida (denominador zero).
  • A dica dada é usar coordenadas polares.

Passo 2

O que são coordenadas polares e por que usá-las aqui?
  • Em coordenadas polares escreve-se um ponto (x,y) como
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo com o eixo x.
  • Ao aproximar (x,y) de (0,0) corresponde a fazer r\to 0^{+} enquanto \theta pode variar. Usar polares é útil porque x^{2}+y^{2}=r^{2}, o que costuma simplificar frações que envolvem essa soma.

Passo 3

Substituição na expressão usando coordenadas polares. Pegando x = r\cos\theta e y = r\sin\theta, temos:
x^{2}+y^{2}=r^{2}
e
\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}} = \frac{2\,(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)}{r^{2}}.
Agora simplificamos o r^{2}:
\frac{2\,(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)}{r^{2}} = 2\cos\theta\sin\theta.
Usando a identidade trigonométrica 2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta), obtemos
\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}} = \sin(2\theta),
desde que r\neq 0 (ou seja, fora da origem). Repare que o resultado não depende de r.

Passo 4

Interpretação do que encontramos e consequência para o limite.
  • O valor de \dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}} ao aproximar a origem ao longo de uma direção fixa \theta é exatamente \sin(2\theta), independentemente de quão pequeno seja r.
  • Para que o limite \lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} \dfrac{2xy}{x^{2}+y^{2}} exista, todos os caminhos que levam à origem devem dar o mesmo valor limite. Aqui, o valor efetivo depende do ângulo \theta. Se diferentes \theta produzem valores diferentes, o limite não pode existir.

Passo 5

Mostrar exemplos concretos de caminhos com resultados distintos (isso fecha o argumento).
  • Aproximação pela reta y=0 (eixo x): nessa direção tem-se \theta=0, então
\sin(2\theta)=\sin(0)=0.
Assim, aproximando pela reta y=0 o valor da expressão tende a 0.
  • Aproximação pela reta y=x: nessa direção tem-se \theta=\tfrac{\pi}{4}, então
\sin(2\theta)=\sin\!\left(2\cdot \tfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.
Nessa aproximação o valor tende a 1.
Como obtivemos limites diferentes (um caminho dá 0 e outro dá 1), não há um único valor limite quando nos aproximamos da origem por todas as direções possíveis.

Passo 6

Comentário final e motivador: a substituição em coordenadas polares foi a chave para ver que o valor depende somente do ângulo \theta. Isso costuma ser um padrão útil em limites em duas variáveis: se a expressão reduz a uma função de \theta apenas, e essa função não é constante, então o limite na origem não existe porque diferentes direções dão valores diferentes. Força aí — fez certinho usar polares!

Resposta

O limite não existe.

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