Exercício 2.14 Calcule
. Ajuda: Utilize coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão analisada é
. - O ponto ao qual nos aproximamos é
, onde a função não está definida (denominador zero). - A dica dada é usar coordenadas polares.
Passo 2
O que são coordenadas polares e por que usá-las aqui?
- Em coordenadas polares escreve-se um ponto
como
onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo com o eixo
.
- Ao aproximar
de corresponde a fazer enquanto pode variar. Usar polares é útil porque , o que costuma simplificar frações que envolvem essa soma.
Passo 3
Substituição na expressão usando coordenadas polares. Pegando
e
, temos:
e
Agora simplificamos o
:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
desde que
(ou seja, fora da origem). Repare que o resultado não depende de
.
Passo 4
Interpretação do que encontramos e consequência para o limite.
- O valor de
ao aproximar a origem ao longo de uma direção fixa é exatamente , independentemente de quão pequeno seja . - Para que o limite
exista, todos os caminhos que levam à origem devem dar o mesmo valor limite. Aqui, o valor efetivo depende do ângulo . Se diferentes produzem valores diferentes, o limite não pode existir.
Passo 5
Mostrar exemplos concretos de caminhos com resultados distintos (isso fecha o argumento).
- Aproximação pela reta
(eixo ): nessa direção tem-se , então
Assim, aproximando pela reta
o valor da expressão tende a
.
- Aproximação pela reta
: nessa direção tem-se , então
Nessa aproximação o valor tende a
.
Como obtivemos limites diferentes (um caminho dá e outro dá
), não há um único valor limite quando nos aproximamos da origem por todas as direções possíveis.
Como obtivemos limites diferentes (um caminho dá
Passo 6
Comentário final e motivador: a substituição em coordenadas polares foi a chave para ver que o valor depende somente do ângulo
. Isso costuma ser um padrão útil em limites em duas variáveis: se a expressão reduz a uma função de
apenas, e essa função não é constante, então o limite na origem não existe porque diferentes direções dão valores diferentes. Força aí — fez certinho usar polares!
Resposta
O limite não existe.