Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int x^{2} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{2}\ln(x)\,dx
usando integração por partes. Note que o integrando está definido para x>0, que é o domínio máximo de \ln(x).

Passo 2

Escolhemos as partes da seguinte forma: u = \ln(x) e dv = x^2\,dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
temos
\int x^2\ln(x)\,dx = \frac{x^3}{3}\ln(x) - \int \frac{x^3}{3}\,\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^3}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\int x^2\,dx.

Passo 5

Calculamos o integral remanescente e simplificamos:
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3},
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\int x^2\ln(x)\,dx = \frac{x^3}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{3}\ln(x) - \frac{x^3}{9} + C.

Resposta

\boxed{\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^3}{3}\ln(x) - \frac{x^3}{9} + C.}

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