Exercício 13. Classifique as funções abaixo em injetora, sobrejetora e bijetora. Justifique:

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon RtoR, f(x)=x^2-2x+1
que pode ser reescrita como
f(x)=(x-1)^2
Para classificar em injetora e sobrejetora usaremos as definições:
f é injetora se de f(x1)=f(x2) seguir x1=x2.
f é sobrejetora se para todo yinR existir xinR tal que f(x)=y.
Uma bijeção é simultaneamente injetora e sobrejetora.

Passo 2

Vamos determinar a imagem de f. Como
f(x)=(x-1)^2>= 0
para todo x, temos
Im(f)=[0,infty)
Ou seja, não há x que produza um valor negativo.

Passo 3

Teste de injetividade: se f fosse injetora, a equação f(x1)=f(x2) só teria solução x1=x2. Mas
f(0)=(0-1)^2=1 e f(2)=(2-1)^2=1,
porém 0neq2. Logo f(0)=f(2) com 0neq2, e f não é injetora.

Passo 4

Teste de sobrejetividade: como Im(f)=[0,infty), não existe x tal que f(x)=-1, por exemplo. Logo f não é sobrejetora em R.

Resposta

f não é injetora, não é sobrejetora e, portanto, também não é bijetora.

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