Exercício 13.3. Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime prime-y^prime prime=0

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a equação diferencial de terceira ordem homogênea com coeficientes constantes
y''' - y'' = 0
O conteúdo aqui é resolução de EDOs lineares homogêneas de ordem 3 e vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Para montar a equação característica, a gente substitui y = e^rx e suas derivadas, chegando a:
r^3 - r^2 = 0
Agora fatoramos: r^2(r - 1) = 0, o que dá as raízes r = 0 (multiplicidade 2) e r = 1.

Passo 3

Cada raiz da equação característica gera uma solução fundamental. Como r=0 tem multiplicidade 2, as soluções associadas são
e^0x = 1 e x e^0x = x,
e para r=1 a solução é e^1x = e^x.

Passo 4

A solução geral é a combinação linear dessas soluções fundamentais. Logo, escrevemos:
y(x) = C1cdot1 + C2cdot x + C3 e^x
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + C2 x + C3 e^x

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