[Exercício 3.13] Considere o sistema de equações a seguir
\left\{\begin{array}{r} x+y+z=1 \\\\ 2 x+2 y+2 z=4 \\\\ 3 x+3 y+4 z=5 \end{array}\right.
Avalie as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações lineares.
O sistema não tem solução

porque

O determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
  1. As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
  2. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
  3. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e asegunda é falsa.
  4. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
  5. Ambas as asserções são proposições falsas.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares em três incógnitas:
\begin{cases} x+y+z=1,\\\\ 2x+2y+2z=4,\\\\ 3x+3y+4z=5, \end{cases}
e pede para avaliar as proposições “o sistema não tem solução” (primeira asserção) e “o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero” (segunda asserção), além de verificar se a segunda justifica corretamente a primeira. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e também checar a consistência do sistema.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 2\\\\ 3 & 3 & 4 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante:
\det(A) =1\cdot(2\cdot4-2\cdot3) -1\cdot(2\cdot4-2\cdot3) +1\cdot(2\cdot3-2\cdot3) =2-2+0 =0.

Passo 3

Como \det(A)=0, a matriz é singular. Isso significa que o sistema pode ser indeterminado (infinitas soluções) ou inconsistente (nenhuma solução), mas não garante por si só a inexistência de solução.

Passo 4

Para checar a consistência, note que a segunda equação
2x+2y+2z=4\nequivale a
x+y+z=2,
o que contradiz a primeira equação x+y+z=1. Logo, o sistema é inconsistente e não tem solução, tornando verdadeira a primeira asserção.

Passo 5

Concluímos que
– a primeira asserção (“o sistema não tem solução”) é verdadeira;
– a segunda asserção (“o determinante … é igual a zero”) também é verdadeira;
– contudo, o fato de \det(A)=0 não justifica por si só a inexistência de solução (poderia indicar infinitas soluções).
Portanto, temos duas asserções verdadeiras, mas a segunda não justifica corretamente a primeira.

Resposta

  1. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

Exercícios relacionados