Exercício 2.15. Calcule
, onde
e
é a superfície
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é a meia-elipsoide
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de
com a integral de linha de
ao longo da fronteira
.
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes, tomando a orientação de
tal que a normal tenha componente positiva em
, temos
Aqui
é a curva de contorno onde
e
Passo 3
Para parametrizar
de forma orientada positivamente (contrário ao sentido horário visto de cima), use
Passo 4
Avaliamo-s
ao longo de
e calculamos
.
Em :
Em
E
Passo 5
O produto escalar
fica
Passo 6
Integramos de
a
:
Para a primeira integral use
, que em
anula.
Para a segunda, mude ,
, e o valor nos limites também é zero. Portanto
Para a segunda, mude