Exercício 16. Calcule:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 1 da expressão
\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma fração onde o numerador é x^{2}-1 e o denominador é x-1.
  • Quer-se \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Observação útil (apenas identificando o que ocorre na expressão): ao substituir x=1 diretamente obtemos \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada (ou seja, não dá para concluir o valor do limite só pela substituição).

Passo 2

Explicar o que significa a forma indeterminada \dfrac{0}{0}.
Quando, ao fazer substituição direta em uma expressão do tipo \dfrac{f(x)}{g(x)}, ambos f(x) e g(x) tendem a 0 ao mesmo tempo, obtém-se a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que a informação direta de que numerador e denominador vão a zero não é suficiente para saber o limite: é preciso manipular a expressão para descobrir o comportamento quando x se aproxima de 1.

Passo 3

Uma técnica simples aqui é fatorar o numerador usando a identidade conhecida como diferença de quadrados. A identidade é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=1 obtemos:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 4

Substituir a fatoração na fração e simplificar (válido para x\neq1):
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.
Para x\neq1 pode-se cancelar o fator x-1, ficando
\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1\quad\text{(para \(x\neq1\)).}
Explicação do porquê isso resolve o limite: o limite quando x\to1 depende do comportamento da função para valores de x próximos de 1, não do valor exatamente em x=1. Como para x próximos de 1 (mas diferentes de 1) a expressão é igual a x+1, podemos estudar \lim_{x\to1}(x+1).

Passo 5

Usar a continuidade da função x+1.
A função g(x)=x+1 é um polinômio e, portanto, é contínua em todo ponto. Para funções contínuas vale que o limite quando x tende a a é simplesmente o valor da função em a. Assim:
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=1+1=2.

Passo 6

Método alternativo (checagem rápida): L’Hôpital.
Como a forma inicial é \dfrac{0}{0} e numerador e denominador são diferenciáveis perto de 1, aplica-se a regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador,
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{2x}{1}=2\cdot1=2,
que confirma o resultado anterior.

Resposta

2

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