Exercício 16. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A expressão é uma fração onde o numerador é
e o denominador é . - Quer-se
.
Observação útil (apenas identificando o que ocorre na expressão): ao substituir
diretamente obtemos
, que é uma forma indeterminada (ou seja, não dá para concluir o valor do limite só pela substituição).
Passo 2
Explicar o que significa a forma indeterminada
.
Quando, ao fazer substituição direta em uma expressão do tipo
, ambos
e
tendem a
ao mesmo tempo, obtém-se a forma indeterminada
. Isso significa que a informação direta de que numerador e denominador vão a zero não é suficiente para saber o limite: é preciso manipular a expressão para descobrir o comportamento quando
se aproxima de
.
Passo 3
Uma técnica simples aqui é fatorar o numerador usando a identidade conhecida como diferença de quadrados. A identidade é:
Aplicando com
e
obtemos:
Passo 4
Substituir a fatoração na fração e simplificar (válido para
):
Para
pode-se cancelar o fator
, ficando
Explicação do porquê isso resolve o limite: o limite quando
depende do comportamento da função para valores de
próximos de
, não do valor exatamente em
. Como para
próximos de
(mas diferentes de
) a expressão é igual a
, podemos estudar
.
Passo 5
Usar a continuidade da função
.
A função
é um polinômio e, portanto, é contínua em todo ponto. Para funções contínuas vale que o limite quando
tende a
é simplesmente o valor da função em
. Assim:
Passo 6
Método alternativo (checagem rápida): L’Hôpital.
Como a forma inicial é
e numerador e denominador são diferenciáveis perto de
, aplica-se a regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador,
que confirma o resultado anterior.