Questão 1: Encontre a solução do problema de valor inicial (P.V.I.) abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente precisa encontrar a função
que satisfaz a equação
e que, quando
,
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e técnicas de separação de variáveis para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial que temos. Olha só:
A gente pode fatorar
no denominador:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para deixar a equação mais fácil de manipular:
Passo 3
Esse tipo de equação pode ser resolvido usando a separação de variáveis. Vamos reescrever
como
:
Muliplicando os dois lados por 2 para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, fazemos uma substituição onde
, então
. Ajustando a integral:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Passo 6
Substituindo
na equação, temos:
Para achar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Mas, lembrando da condição inicial
, escolhemos o sinal negativo:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: