Questão 1: Encontre a solução do problema de valor inicial (P.V.I.) abaixo:
y^prime=2 xy+x^2 y, y(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente precisa encontrar a função y(x) que satisfaz a equação y^prime = 2xy + x^2y e que, quando x = 0 , y = -1 . Vamos usar conceitos de equações diferenciais e técnicas de separação de variáveis para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial que temos. Olha só:
y^prime = 2xy + x^2y
A gente pode fatorar y no denominador:
y^prime = 2xy(1 + x^2)
Agora, multiplicamos ambos os lados por y para deixar a equação mais fácil de manipular:
y cdot y^prime = 2x1 + x^2

Passo 3

Esse tipo de equação pode ser resolvido usando a separação de variáveis. Vamos reescrever y cdot y^prime como 12 ddx(y^2) :
12 ddx(y^2) = 2x1 + x^2
Muliplicando os dois lados por 2 para simplificar:
ddx(y^2) = 4x1 + x^2

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx(y^2) , dx = integral 4x1 + x^2 , dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente y^2 . Para o lado direito, fazemos uma substituição onde u = 1 + x^2 , então du = 2x , dx . Ajustando a integral:
integral 4x1 + x^2 , dx = 2 integral duu = 2 ln|u| + C = 2 ln(1 + x^2) + C

Passo 5

Agora, juntando tudo:
y^2 = 2 ln(1 + x^2) + C
Para encontrar a constante C , usamos a condição inicial y(0) = -1 :
(-1)^2 = 2 ln(1 + 0^2) + C Rightarrow 1 = 2 ln(1) + C Rightarrow 1 = 0 + C Rightarrow C = 1

Passo 6

Substituindo C = 1 na equação, temos:
y^2 = 2 ln(1 + x^2) + 1
Para achar y , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
y = pm raiz2 ln(1 + x^2) + 1
Mas, lembrando da condição inicial y(0) = -1 , escolhemos o sinal negativo:
y = - raiz2 ln(1 + x^2) + 1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = - raiz, 2, ln(1 + x^2) + 1,

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