Exercício 1.13. Determine se as séries convergem ou divergem. \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{2}+\frac{5}{2 \sqrt{2}}+\cdots+\frac{2 n-1}{(\sqrt{2})^{n}}+\cdots
Como \dfrac{1}{\sqrt{2}}<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Isso já responde a parte de convergência: a série é convergente (e, mais fortemente, absolutamente convergente).
Agora vamos também calcular a soma exata da série — é uma soma fechada obtida a partir de somas de potências geométricas e suas derivadas.
Passo 4
Defino r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, assim a série é
\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)r^{n}.
Vou usar duas fórmulas padrão (válidas para |r|<1):
Soma geométrica:
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Soma envolvendo n: derivando a série geométrica termo a termo (ou sabendo a identidade), obtém-se
\sum_{n=1}^{\infty}n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Explico brevemente a derivação da (2): começando de \sum_{n=1}^\infty r^n=\dfrac{r}{1-r}, derivando ambos os lados em relação a r dá \sum_{n=1}^\infty n r^{n-1}=\dfrac{1}{(1-r)^2}; multiplicando por r obtém-se a fórmula acima.