Exercício 1.13. Determine se as séries convergem ou divergem.
\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{2}+\frac{5}{2 \sqrt{2}}+\cdots+\frac{2 n-1}{(\sqrt{2})^{n}}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série cujo termo geral é
a_n=\frac{2n-1}{(\sqrt{2})^{n}},\qquad n=1,2,3,\ldots
e pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{(\sqrt{2})^{n}}
converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é uma função linear de n: 2n-1.
  • O denominador é uma potência de \sqrt{2}: (\sqrt{2})^{n}.
  • Podemos reescrever a potência como \bigl(1/\sqrt{2}\bigr)^{n}, o que sugere comparação com séries geométricas ou uso de testes de convergência.

Passo 2

Vou testar convergência usando o teste da razão (ratio test). Primeiro lembro o enunciado do teste da razão de forma prática:
  • Para uma série com termos a_n (não nulos), calcule o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1 então a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
Agora aplico ao nosso a_n. Temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{2(n+1)-1}{(\sqrt{2})^{\,n+1}}}{\dfrac{2n-1}{(\sqrt{2})^{\,n}}} =\frac{2n+1}{2n-1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}.
Tomando limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n-1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n-1}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} =1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Como \dfrac{1}{\sqrt{2}}<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Isso já responde a parte de convergência: a série é convergente (e, mais fortemente, absolutamente convergente).
Agora vamos também calcular a soma exata da série — é uma soma fechada obtida a partir de somas de potências geométricas e suas derivadas.

Passo 4

Defino r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, assim a série é
\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)r^{n}.
Vou usar duas fórmulas padrão (válidas para |r|<1):
  1. Soma geométrica:
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
  1. Soma envolvendo n: derivando a série geométrica termo a termo (ou sabendo a identidade), obtém-se
\sum_{n=1}^{\infty}n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Explico brevemente a derivação da (2): começando de \sum_{n=1}^\infty r^n=\dfrac{r}{1-r}, derivando ambos os lados em relação a r \sum_{n=1}^\infty n r^{n-1}=\dfrac{1}{(1-r)^2}; multiplicando por r obtém-se a fórmula acima.
Usando essas duas somas:
\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)r^{n} =2\sum_{n=1}^{\infty}n r^{n}-\sum_{n=1}^{\infty}r^{n} =2\cdot\frac{r}{(1-r)^{2}}-\frac{r}{1-r}.
Coloco em uma única fração:
2\cdot\frac{r}{(1-r)^{2}}-\frac{r}{1-r} =\frac{2r}{(1-r)^{2}}-\frac{r(1-r)}{(1-r)^{2}} =\frac{2r-r+ r^{2}}{(1-r)^{2}} =\frac{r+r^{2}}{(1-r)^{2}} =\frac{r(1+r)}{(1-r)^{2}}.

Passo 5

Agora substituo r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Então a soma S vale
S=\frac{r(1+r)}{(1-r)^{2}},\qquad r=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Calculo passo a passo. Primeiro o numerador:
r(1+r)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) =\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}+1}{2}.
Agora o denominador:
(1-r)^{2}=\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2} =\frac{(\sqrt{2}-1)^{2}}{2} =\frac{3-2\sqrt{2}}{2}.
Portanto
S=\frac{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}} =\frac{\sqrt{2}+1}{3-2\sqrt{2}}.
Multiplico numerador e denominador por 3+2\sqrt{2} para simplificar (observe 3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^{2}, e (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=9-8=1):
S=(\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})=7+5\sqrt{2}.
Logo a soma fechada é S=7+5\sqrt{2}.

Resposta

A série converge absolutamente.
A soma é 7+5\sqrt{2}.

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