Exercício 15. Resolva, em \mathbb{R}, a desigualdade a seguir. Represente o conjuntosolução usando intervalos.
\frac{4 x-7}{4 x-3} \geq \frac{3-2 x}{7-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a desigualdade
\frac{4x - 7}{4x - 3} \;\ge\; \frac{3 - 2x}{7 - 2x}.
O conteúdo é desigualdade de frações racionais. Vamos precisar determinar o domínio (onde os denominadores não zeram), passar tudo para um único lado, encontrar o numerador resultante e estudar o sinal do quociente.

Passo 2

Primeiro, identificamos as proibições de valores que anulem os denominadores:
4x - 3 = 0 \implies x = \tfrac{3}{4}, \quad 7 - 2x = 0 \implies x = \tfrac{7}{2}.
Logo, a desigualdade só faz sentido para x \neq \tfrac{3}{4} e x \neq \tfrac{7}{2}.

Passo 3

Trazemos tudo para o mesmo lado:
\frac{4x - 7}{4x - 3} - \frac{3 - 2x}{7 - 2x} \;\ge\; 0.
O denominador comum é (4x - 3)(7 - 2x). Então o numerador fica
(4x - 7)(7 - 2x) \;-\;(3 - 2x)(4x - 3).

Passo 4

Expandindo cada termo do numerador:
(4x - 7)(7 - 2x) = -8x^2 + 42x - 49, \quad (3 - 2x)(4x - 3) = -8x^2 + 18x - 9.
Subtraindo,
N = (-8x^2 + 42x - 49) - (-8x^2 + 18x - 9) = 24x - 40 = 8(3x - 5).
Portanto a desigualdade vira
\frac{8(3x - 5)}{(4x - 3)(7 - 2x)} \;\ge\; 0.

Passo 5

Identificamos os pontos críticos que anulam numerador ou denominador:
3x - 5 = 0 \implies x = \tfrac{5}{3}, \quad 4x - 3 = 0 \implies x = \tfrac{3}{4}, \quad 7 - 2x = 0 \implies x = \tfrac{7}{2}.
Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos para analisarmos o sinal.

Passo 6

Estudamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
  • Para x < \tfrac{3}{4}: 3x-5<0, 4x-3<0, 7-2x>0. Quociente >0.
  • Para \tfrac{3}{4}<x<\tfrac{5}{3}: 3x-5<0, 4x-3>0, 7-2x>0. Quociente <0.
  • Para \tfrac{5}{3}<x<\tfrac{7}{2}: 3x-5>0, 4x-3>0, 7-2x>0. Quociente >0.
  • Para x>\tfrac{7}{2}: 3x-5>0, 4x-3>0, 7-2x<0. Quociente <0.
    No ponto x=\tfrac{5}{3} o numerador zera e o denominador é não nulo, daí vale 0, satisfazendo “ \ge0”. Nos pontos \tfrac{3}{4} e \tfrac{7}{2} o denominador zera, então são proibidos.

Passo 7

Concluímos que a solução é a união dos intervalos onde o quociente é não negativo:
(-\infty,\;\tfrac{3}{4})\;\cup\;\bigl[\tfrac{5}{3},\;\tfrac{7}{2}\bigr).

Resposta

(-\infty,\tfrac{3}{4})\;\cup\;\bigl[\tfrac{5}{3},\tfrac{7}{2}\bigr)

Exercícios relacionados