Exercício 15. Resolva, em
, a desigualdade a seguir. Represente o conjuntosolução usando intervalos.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a desigualdade
O conteúdo é desigualdade de frações racionais. Vamos precisar determinar o domínio (onde os denominadores não zeram), passar tudo para um único lado, encontrar o numerador resultante e estudar o sinal do quociente.
Passo 2
Primeiro, identificamos as proibições de valores que anulem os denominadores:
Logo, a desigualdade só faz sentido para
e
.
Passo 3
Trazemos tudo para o mesmo lado:
O denominador comum é
. Então o numerador fica
Passo 4
Expandindo cada termo do numerador:
Subtraindo,
Portanto a desigualdade vira
Passo 5
Identificamos os pontos críticos que anulam numerador ou denominador:
Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos para analisarmos o sinal.
Passo 6
Estudamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
- Para
: , , . Quociente . - Para
: , , . Quociente . - Para
: , , . Quociente . - Para
: , , . Quociente .
No pontoo numerador zera e o denominador é não nulo, daí vale , satisfazendo “ ”. Nos pontos e o denominador zera, então são proibidos.
Passo 7
Concluímos que a solução é a união dos intervalos onde o quociente é não negativo: