Exercício 13. Encontre as funções f circ g, g circ f, f circ f e g circ g e seus dominios.
f(x)=raizx^3+5, g(x)=raiz[3]x

Passo 1

O enunciado define
f(x)=raizx^3+5 e g(x)=raiz[3]x.
Queremos achar as compostas
fcirc g, gcirc f, fcirc f e gcirc g e seus domínios.
Para isso precisamos lembrar que
– para raizcdot o argumento deve ser >=0,
– para raiz[3]cdot não há restrição (todo real tem raiz cúbica).

Passo 2

Calcular fcirc g:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r) =fl(raiz[3]xr) =raizl(raiz[3]xr)^3+5 =raizx+5
Domínio: exigimos x+5>=0, ou seja
dom(fcirc g)=[-5,infty)

Passo 3

Calcular gcirc f:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =gl(raizx^3+5r) =raiz[3]raizx^3+5
Domínio: primeiro f(x) exige x^3+5>=0, ou seja x>= -raiz[3]5. Como g não impõe mais restrição,
dom(gcirc f)=[-raiz[3]5,infty)

Passo 4

Calcular fcirc f:
(fcirc f)(x)=fl(f(x)r) =f!l(raizx^3+5r) =raizl(raizx^3+5r)^3+5 =raiz(x^3+5)^3/2+5
Domínio: para o primeiro f(x) precisamos x^3+5>=0, ou seja x>= -raiz[3]5. Depois, como raiz(x^3+5)^3/2+5 tem argumento sempre >=5, não há nova restrição. Logo
dom(fcirc f)=[-raiz[3]5,infty)

Passo 5

Calcular gcirc g:
(gcirc g)(x)=gl(g(x)r) =gl(raiz[3]xr) =raiz[3]raiz[3]x =(x^1/3)^1/3 =x^1/9
Domínio: raiz cúbica em qualquer real, portanto
dom(gcirc g)=R

Resposta

fcirc g(x)=raizx+5, dom(fcirc g)=[-5,infty) gcirc f(x)=raiz[3]raizx^3+5, dom(gcirc f)=[-raiz[3]5,infty) fcirc f(x)=raiz(x^3+5)^3/2+5, dom(fcirc f)=[-raiz[3]5,infty) gcirc g(x)=x^1/9, dom(gcirc g)=R

Exercícios relacionados