• Questão 14. Calcule as derivadas das funções abaixo
    (h) f(x)=[ln (x^2+1)]^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l[lnl(x^2+1r)r]^3
O conteúdo principal aqui é a derivação de função composta, isto é, usar a regra da cadeia combinada com a derivada de potência e a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Definimos a função intermediária
u(x)=lnl(x^2+1r),
de modo que
f(x)=l(u(x)r)^3
Pela regra da potência, a derivada de f em relação a x é
f'(x)=3l(u(x)r)^2cdot u'(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como
u(x)=lnl(v(x)r) com v(x)=x^2+1,
pela regra do logaritmo temos
u'(x)=v'(x)v(x) =2xx^2+1

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x)=3l[ln(x^2+1)r]^2;cdot;2xx^2+1 =6x,[ln(x^2+1)]^2x^2+1

Resposta

f'(x)=6x,[ln(x^2+1)]^2x^2+1

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