Exercício 1.13 Esboce a curva de nivel f(x, y)=C, para cada C dada
(e) f(x, y)=y-e^{x}, C=0, C=1.

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível de f(x,y)=y-e^{x} para dois valores de C: C=0 e C=1.
Conteúdo: curva de nível de função de duas variáveis, que são as curvas definidas por f(x,y)=C.
Vamos isolar y em termos de x e do parâmetro C para obter a equação de cada curva.

Passo 2

Partindo de
f(x,y)=y-e^{x}=C,
isolamos y:
y = e^{x} + C.
Dessa forma, cada curva de nível é o gráfico da função exponencial deslocada verticalmente por C.

Passo 3

Para C=0 temos
y = e^{x}.
Essa é a exponencial padrão cujo domínio é \mathbb{R}, intercepto em (0,1) e assíntota horizontal y=0.

Passo 4

Para C=1 temos
y = e^{x} + 1.
É a mesma curva de y=e^{x} deslocada para cima em uma unidade. O intercepto em x=0 passa de 1 para 2 e a assíntota horizontal passa de y=0 para y=1.

Passo 5

Em resumo, as duas curvas de nível são duas cópias da exponencial:
– Para C=0: curva base y=e^{x} com assíntota y=0.
– Para C=1: curva y=e^{x}+1 com assíntota y=1.

Resposta

As curvas de nível são:
y = e^{x} \quad\text{(para \(C=0\))},
y = e^{x} + 1 \quad\text{(para \(C=1\))},
ambas exponenciais com deslocamento vertical igual a C.

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