Exercício 1.14 Realizar o gráfico da seguinte equação:
(a) z=2-x-2 y.

Passo 1

O enunciado pede para traçar o gráfico da superfície \,z=2 - x - 2y, em \mathbb{R}^3. Esse é um plano, e para desenhá-lo vamos precisar dos interceptos com os eixos e do vetor normal.

Passo 2

Para achar os interceptos:
– Com o eixo x: ponha y=0 e z=0, então 0 = 2 - x \implies x=2.
– Com o eixo y: ponha x=0 e z=0, então 0 = 2 - 2y \implies y=1.
– Com o eixo z: ponha x=0 e y=0, então z = 2.
Os pontos de intercepto são (2,0,0), (0,1,0) e (0,0,2).

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão:
x + 2y + z = 2,
vemos que o vetor normal ao plano é \mathbf{n} = (1,2,1).

Passo 4

Uma parametrização conveniente do plano é
(x,y,z) = (0,0,2) \;+\; s\,(2,0,-2)\;+\; t\,(0,1,-2), \quad s,t\in\mathbb{R},
mas, para o esboço, basta ligar os três pontos de intercepto formando um triângulo e estender esse triângulo infinitamente.

Passo 5

No sistema de eixos cartesianos:
  1. Desenhe os eixos x, y e z.
  2. Marque os pontos (2,0,0), (0,1,0) e (0,0,2).
  3. Una esses pontos por segmentos de reta; a superfície é o plano que passa por esse triângulo e se estende em todas as direções.

Resposta

O gráfico de \,z=2-x-2y, é o plano que intercepta os eixos nos pontos (2,0,0), (0,1,0) e (0,0,2), com vetor normal (1,2,1).

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