Exercício 5. Encontre um número real t tal que
(3,1,4),(2,-3,5),(5,9, t)
não sejam linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um escalar t tal que os vetores
v_1=(3,1,4),\quad v_2=(2,-3,5),\quad v_3=(5,9,t)
sejam linearmente dependentes em \mathbb{R}^3. Como são três vetores em \mathbb{R}^3, a condição de dependência linear é
\det\bigl[v_1,\,v_2,\,v_3\bigr]=0.

Passo 2

Escrevemos o determinante da matriz cujas colunas são os vetores v_1,v_2,v_3:
\det \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \\[6pt] 1 & -3 & 9 \\[6pt] 4 & 5 & t \end{pmatrix} =0.]

Passo 3

Desenvolvendo esse determinante pela primeira linha, temos
\det \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \\[3pt] 1 & -3 & 9 \\[3pt] 4 & 5 & t \end{pmatrix} =3\begin{vmatrix}-3 & 9 \\[3pt]5 & t\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}1 & 9 \\[3pt]4 & t\end{vmatrix} +5\begin{vmatrix}1 & -3 \\[3pt]4 & 5\end{vmatrix}.]

Passo 4

Calculamos cada menor e simplificamos:
3\bigl((-3)t-9\cdot5\bigr) -2\bigl(1\cdot t-9\cdot4\bigr) +5\bigl(1\cdot5-(-3)\cdot4\bigr).
Isso dá
3(-3t-45)-2(t-36)+5(5+12) =-9t-135-2t+72+85 =-11t+22.

Passo 5

Para que o determinante seja zero, resolvemos
-11t+22=0 \quad\Longrightarrow\quad t=2.

Resposta

t=2

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