Exercício 15. Seja
um número real positivo tal que
Passo 1
O enunciado dá a equação trigonométrica
onde
é um número real positivo. A pergunta implícita é: quais são os valores de
que satisfazem essa igualdade?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
, um número real e positivo. - A equação envolve as funções trigonométricas
e . - Deve-se considerar o domínio das funções (ou seja, evitar pontos onde
, porque aí e não estão definidas).
Passo 2
Vamos lembrar e entender duas identidades trigonométricas úteis (uma mini-aula rápida e prática).
Definições:
Definições:
-
. Aqui está definida apenas quando . -
. Também definida apenas quando .
Identidade fundamental que usaremos:
Explicando por que isso vale: parte da identidade pitagórica
. Subtraindo
dos dois lados obtemos exatamente
. Essa identidade é muito prática porque combina
e
numa expressão simples.
Passo 3
Partindo da equação dada
uma estratégia comum é multiplicar ambos os lados por
. Isto é seguro porque não estamos dividindo por nada; apenas multiplicando. Fazendo isso obtemos:
Agora uso a identidade do Passo 2 no lado esquerdo:
. Assim o lado esquerdo simplifica para
. Logo
Passo 4
Agora temos duas igualdades simultâneas obtidas a partir da original:
Somando membro a membro essas duas equações para eliminar
, obtemos:
O
cancela, ficando
Dividindo por
,
Passo 5
Da igualdade
passo para o cosseno usando
:
Agora encontro os
que satisfazem
. A solução geral da equação
é
Também, verifico o valor de
nesses pontos: se
então
, logo
. Assim para
temos
, ou seja esses
realmente satisfazem a equação original. Não surgiram soluções extranhas no processo.
Passo 6
Considerando o domínio:
e
exigem
. As soluções encontradas têm
, portanto são permitidas. Como o enunciado exige
positivo (estritamente maior que zero), devemos escolher apenas os
da forma
com
inteiro e
. Isso corresponde a
.
Passo 7
Concluindo com a lista explícita dos valores positivos: os valores positivos de
que satisfazem a equação são
ou, de forma compacta,