Exercício 15. Seja x um número real positivo tal que
\operatorname{sec} x-\operatorname{tg} x=1

Passo 1

O enunciado dá a equação trigonométrica
\operatorname{sec} x - \tan x = 1,
onde x é um número real positivo. A pergunta implícita é: quais são os valores de x>0 que satisfazem essa igualdade?
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x, um número real e positivo.
  • A equação envolve as funções trigonométricas \operatorname{sec} x e \tan x.
  • Deve-se considerar o domínio das funções (ou seja, evitar pontos onde \cos x=0, porque aí \operatorname{sec} x e \tan x não estão definidas).

Passo 2

Vamos lembrar e entender duas identidades trigonométricas úteis (uma mini-aula rápida e prática).
Definições:
  • \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}. Aqui \operatorname{sec} x está definida apenas quando \cos x \neq 0.
  • \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Também definida apenas quando \cos x \neq 0.
Identidade fundamental que usaremos:
\operatorname{sec}^{2}x - \tan^{2}x = 1.
Explicando por que isso vale: parte da identidade pitagórica 1 + \tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x. Subtraindo \tan^{2}x dos dois lados obtemos exatamente \operatorname{sec}^{2}x - \tan^{2}x = 1. Essa identidade é muito prática porque combina \operatorname{sec} e \tan numa expressão simples.

Passo 3

Partindo da equação dada
\operatorname{sec} x - \tan x = 1,
uma estratégia comum é multiplicar ambos os lados por \operatorname{sec} x + \tan x. Isto é seguro porque não estamos dividindo por nada; apenas multiplicando. Fazendo isso obtemos:
(\operatorname{sec} x - \tan x)(\operatorname{sec} x + \tan x) = 1\cdot(\operatorname{sec} x + \tan x).
Agora uso a identidade do Passo 2 no lado esquerdo: \operatorname{sec}^{2}x - \tan^{2}x = 1. Assim o lado esquerdo simplifica para 1. Logo
1 = \operatorname{sec} x + \tan x.

Passo 4

Agora temos duas igualdades simultâneas obtidas a partir da original:
\operatorname{sec} x - \tan x = 1 \qquad\text{e}\qquad \operatorname{sec} x + \tan x = 1.
Somando membro a membro essas duas equações para eliminar \tan x, obtemos:
(\operatorname{sec} x - \tan x) + (\operatorname{sec} x + \tan x) = 1 + 1.
O \tan x cancela, ficando
2\operatorname{sec} x = 2.
Dividindo por 2,
\operatorname{sec} x = 1.

Passo 5

Da igualdade \operatorname{sec} x = 1 passo para o cosseno usando \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}:
\frac{1}{\cos x} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \cos x = 1.
Agora encontro os x que satisfazem \cos x = 1. A solução geral da equação \cos x = 1 é
x = 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Também, verifico o valor de \tan x nesses pontos: se \cos x=1 então \sin x=0, logo \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}=0. Assim para x=2k\pi temos \operatorname{sec} x - \tan x = 1 - 0 = 1, ou seja esses x realmente satisfazem a equação original. Não surgiram soluções extranhas no processo.

Passo 6

Considerando o domínio: \operatorname{sec} x e \tan x exigem \cos x\neq0. As soluções encontradas têm \cos x=1\neq0, portanto são permitidas. Como o enunciado exige x positivo (estritamente maior que zero), devemos escolher apenas os x da forma 2k\pi com k inteiro e x>0. Isso corresponde a k=1,2,3,\dots.

Passo 7

Concluindo com a lista explícita dos valores positivos: os valores positivos de x que satisfazem a equação são
x = 2\pi,\, 4\pi,\, 6\pi,\, \dots
ou, de forma compacta,
x = 2k\pi,\quad k\in\mathbb{N}.

Resposta

x = 2k\pi,\quad k\in\mathbb{N}

Exercícios relacionados