Exercício 14. Seja
o espaço vetorial formado pelas funções reais de uma variável real, isto é,
.
Mostre que
onde:
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e as quatro funções
,
,
,
.
Queremos mostrar que e
estão em
, ou seja, no subespaço de
gerado por
e
. Isso significa encontrar escalares
tais que
e as quatro funções
Queremos mostrar que
e de modo análogo para
.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
Como
e
, somando-as obtemos
Logo, em notação de combinação linear,
o que mostra
.
Passo 3
Usamos agora a identidade de ângulo duplo
Como
e
, temos
Isto é,
portanto
.
Resposta
Mostramos que
logo
.