Exercício 14. Seja (V,+, cdot) o espaço vetorial formado pelas funções reais de uma variável real, isto é, V=F(R).
Mostre que f, g in[u, v] subseteq V onde:
f(x)=1, g(x)=cos (2 x), u(x)=sen^2(x), v(x)=cos ^2(x), para x in R

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V=F(R)
e as quatro funções
f(x)=1, g(x)=cos(2x), u(x)=sin^2(x), v(x)=cos^2(x).
Queremos mostrar que f e g estão em [u,v], ou seja, no subespaço de V gerado por u e v. Isso significa encontrar escalares a,binR tais que
f = a,u + b,v,
e de modo análogo para g.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica fundamental
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Como u(x)=sin^2(x) e v(x)=cos^2(x), somando-as obtemos
u(x) + v(x) = sin^2(x) + cos^2(x) = 1 = f(x)
Logo, em notação de combinação linear,
f = 1cdot u + 1cdot v,
o que mostra fin[u,v].

Passo 3

Usamos agora a identidade de ângulo duplo
cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)
Como v(x)=cos^2(x) e u(x)=sin^2(x), temos
v(x) - u(x) = cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x) = g(x)
Isto é,
g = (-1),u + 1,v = v - u,
portanto gin[u,v].

Resposta

Mostramos que
f = u + v e g = v - u,
logo f,g in [u,v]subseteq V.

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