Seja V=C(R) o espaço vetorial das funções f: R R sobre R. Verifique se o subconjunto W é subespaço de V nos seguintes casos:
Lembre-se f é par se f(-x)=f(x) para todo x no domínio de f. Por sua vez f é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x no domínio de f.
W é o conjunto das funções deriváveis.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
;V = C(R)
como o conjunto de todas as funções contínuas f:RtoR, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. O subconjunto em questão é
W = ,fin V mid f é derivável em R éá
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso usamos o critério padrão:
  1. Wneqemptyset;
  2. W é fechado sob soma;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio exibindo o elemento neutro da soma em V. Considere a função zero
0:RtoR, 0(x)=0 forall x
Essa função é derivável (sua derivada é 0 em todo ponto), logo 0in W. Assim Wneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam f,gin W. Por definição de W, f e g são deriváveis em todo R. Pela regra da soma de derivadas temos
(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)
e, como f' e g' existem para todo x, segue que (f+g)' existe em todo R. Logo f+gin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja alphainR e fin W. Como f é derivável, pela regra do produto por escalar
(alpha f)'(x)=alpha,f'(x)
existe para todo x. Logo alpha fin W.

Passo 5

Vimos que W contém o vetor zero, e é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Pelo critério de subespaço, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

Sim. W é subespaço de V.

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