Seja
o espaço vetorial das funções
sobre
. Verifique se o subconjunto
é subespaço de
nos seguintes casos:
Lembre-se
é par se
para todo
no domínio de
. Por sua vez
é ímpar se
para todo
no domínio de
.
é o conjunto das funções deriváveis.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
como o conjunto de todas as funções contínuas , com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. O subconjunto em questão é
como o conjunto de todas as funções contínuas
Queremos verificar se
é subespaço de
. Para isso usamos o critério padrão:
-
; -
é fechado sob soma; -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio exibindo o elemento neutro da soma em
. Considere a função zero
Essa função é derivável (sua derivada é
em todo ponto), logo
. Assim
.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
. Por definição de
,
e
são deriváveis em todo
. Pela regra da soma de derivadas temos
e, como
e
existem para todo
, segue que
existe em todo
. Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja
e
. Como
é derivável, pela regra do produto por escalar
existe para todo
. Logo
.
Passo 5
Vimos que
contém o vetor zero, e é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Pelo critério de subespaço, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim.
é subespaço de
.