Exercício 13. Quantas matrizes A de tamanho 3 times 3 você consegue encontrar tais que
A[l x y z ]=[c x+y x-y 0 ]

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes AinR^3times3 que realizem a aplicação linear
(x,y,z)mapsto(x+y,;x-y,;0)
quando multiplicadas pelo vetor coluna l[x;y;zr]^T. O conteúdo aqui é representação de transformações lineares na base canônica e identificação dos coeficientes da matriz.

Passo 2

Seja
Então, para todo vetor , temos

Passo 3

Queremos que este produto seja igual a
x+y x-y 0
para todos x,y,z. Portanto, comparando as componentes em x, y e z, obtemos o sistema de igualdades:
a x + b y + c z = x + y;Longrightarrow; a = 1, b = 1, c = 0,
d x + e y + f z = x - y;Longrightarrow; d = 1, e = -1, f = 0,
g x + h y + i z = 0;Longrightarrow; g = 0, h = 0, i = 0

Passo 4

Dos oito parâmetros a,b,dots,i só restou uma escolha, e ela está completamente determinada:
A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0
Logo só existe essa única matriz que satisfaz a condição.

Resposta

Existe exatamente uma matriz que faz
e ela é

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