Exercício 13.4. Resolva usando coeficientes a determinar:
y^(4)+y^prime prime prime=cos 4 x

Passo 1

Aqui a gente tem que resolver a EDO linear de quarta ordem com coeficientes constantes
O enunciado é:
Resolver
y^(4) + y''' = cos(4x)
O conteúdo envolvido é solução geral de EDOs lineares: a solução = homogênea + particular, e para a parte particular usamos método de coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada
A equação característica é
r^4 + r^3 = 0 iff r^3(r + 1) = 0
As raízes são r = 0 (multiplicidade 3) e r = -1. Como a raiz zero aparece 3 vezes, a parte homogênea fica
yh = C1 + C2 x + C3 x^2 + C4 e^-x

Passo 3

Agora propomos uma parte particular adequada ao segundo membro cos(4x). Como não há ressonância com as raízes imaginárias puras, tentamos
yp = Acos(4x) + Bsin(4x)
e vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 4

Derivadas de yp:
yp' = -4Asin(4x) + 4Bcos(4x)
yp'' = -16Acos(4x) -16Bsin(4x)
yp''' = 64Asin(4x) -64Bcos(4x)
yp'''' = -256Acos(4x) +256Bsin(4x)

Passo 5

Substituímos na equação original y'''' + y''' = cos(4x):
yp'''' + yp''' = (-256Acos(4x) +256Bsin(4x)) + (64Asin(4x) -64Bcos(4x))
Agrupando cosseno e seno:
(-256A -64B)cos(4x) + (256B +64A)sin(4x) = cos(4x)
Isso gera o sistema para A e B:

Passo 6

Igualando coeficientes:
-256A - 64B = 1
256B + 64A = 0
Da segunda equação tira-se A +4B = 0, ou seja A = -4B. Substituindo na primeira:
-256(-4B) -64B = 1 implies 1024B -64B = 1 implies 960B = 1 implies B = 1960
e assim
A = -4cdot1960 = -1240

Passo 7

Pronto! Já temos a parte particular. Agora reunimos tudo para escrever a solução geral da EDO:
y(x) = yh + yp = C1 + C2 x + C3 x^2 + C4 e^-x -1240cos(4x) + 1960sin(4x)

Resposta

y(x) = C1 + C2 x + C3 x^2 + C4 e^-x - 1240 cos(4x) + 1960 sin(4x)

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