Exercício 13.4. Resolva usando coeficientes a determinar:
Passo 1
Aqui a gente tem que resolver a EDO linear de quarta ordem com coeficientes constantes
O enunciado é:
O enunciado é:
Resolver
O conteúdo envolvido é solução geral de EDOs lineares: a solução = homogênea + particular, e para a parte particular usamos método de coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada
A equação característica é
As raízes são
(multiplicidade 3) e
. Como a raiz zero aparece 3 vezes, a parte homogênea fica
Passo 3
Agora propomos uma parte particular adequada ao segundo membro
. Como não há ressonância com as raízes imaginárias puras, tentamos
e vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 4
Derivadas de
:
Passo 5
Substituímos na equação original
:
Agrupando cosseno e seno:
Isso gera o sistema para
e
:
Passo 6
Igualando coeficientes:
Da segunda equação tira-se
, ou seja
. Substituindo na primeira:
e assim
Passo 7
Pronto! Já temos a parte particular. Agora reunimos tudo para escrever a solução geral da EDO: