Exercício 3.13 (Resolvido) Calcule, com detalhamento, as derivadas de
g(x)=\cos ^{5}(x) \operatorname{sen}\left(x^{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\cos^5(x)\,\operatorname{sen}\bigl(x^5\bigr).
O conteúdo aqui é aplicação da regra do produto e da regra da cadeia. Vamos quebrar em duas funções:
u(x)=\cos^5(x) \quad\text{e}\quad v(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^5\bigr),
de modo que g(x)=u(x)\,v(x).

Passo 2

Pela regra do produto, a derivada é
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Agora precisamos achar u'(x) e v'(x) separadamente usando regra da cadeia.

Passo 3

Para u(x)=\cos^5(x), vemos uma função externa w\mapsto w^5 aplicada a \cos(x).
Pela cadeia:
u'(x) =5\bigl(\cos(x)\bigr)^{4}\;\bigl(\cos(x)\bigr)' =5\cos^4(x)\,\bigl(-\operatorname{sen}(x)\bigr) =-5\cos^4(x)\,\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Para v(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^5\bigr), a função externa é \operatorname{sen}(t) e a interna é t=x^5.
Pela cadeia:
v'(x) =\cos\bigl(x^5\bigr)\;\bigl(x^5\bigr)' =\cos\bigl(x^5\bigr)\;5x^4 =5x^4\cos\bigl(x^5\bigr).

Passo 5

Substituindo em
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)
obtemos
g'(x) =\bigl(-5\cos^4(x)\,\operatorname{sen}(x)\bigr)\,\operatorname{sen}\bigl(x^5\bigr) +\cos^5(x)\,\bigl(5x^4\cos\bigl(x^5\bigr)\bigr).

Passo 6

Podemos fatorar 5\cos^4(x):
g'(x) =5\cos^4(x)\Bigl[-\operatorname{sen}(x)\,\operatorname{sen}\bigl(x^5\bigr) +x^4\cos(x)\,\cos\bigl(x^5\bigr)\Bigr].

Resposta

g'(x) =5\cos^4(x)\Bigl[x^4\cos(x)\,\cos\bigl(x^5\bigr) -\operatorname{sen}(x)\,\operatorname{sen}\bigl(x^5\bigr)\Bigr].

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