Exercício 3.14 São dadas funções envolvendo funçōes trigonométricas. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sin\bigl(x^{3}\bigr)
Isso envolve derivadas de funções trigonométricas e uso da regra da cadeia.

Passo 2

Reconhecemos uma função composta: a função externa é \sin(u) e a interna é u(x)=x^{3}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(u(x))\bigr] =\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos a derivada da função interna u(x)=x^{3}:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.

Passo 4

Substituindo u(x)=x^{3} e u'(x)=3x^{2} na regra da cadeia, obtemos
f'(x)=\cos\bigl(x^{3}\bigr)\cdot3x^{2}
ou de forma mais usual
f'(x)=3x^{2}\,\cos\bigl(x^{3}\bigr).

Resposta

f'(x)=3x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr).

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