Exercício 3.14 São dadas funções envolvendo funçōes trigonométricas. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{sen}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr)
e pede f'(x). Aqui vamos usar a regra da cadeia, pois temos uma composição de funções trigonométricas e radicais.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identifique a parte interna e a externa:
a parte interna é
u(x)=\sqrt{x^2+1},
e a parte externa é
v(u)=\operatorname{sen}(u).
A regra da cadeia diz que
f'(x)=v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Calculemos cada derivada:
  1. A derivada de v(u)=\operatorname{sen}(u) em relação a u é
v'(u)=\cos(u).
  1. A derivada de u(x)=\sqrt{x^2+1} em relação a x é
u'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
Logo, pela regra da cadeia,
f'(x) =\cos\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr)\,\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x\cos\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr)}{\sqrt{x^2+1}}.

Exercícios relacionados