Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que:
a equação x^{5}-5 x^{4}+8 possui (pelo menos) duas soluções em ]-2,2[;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
f(x) = x^{5} - 5x^{4} + 8
possui pelo menos duas raízes em (-2,2). O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que requer que f seja contínua (polinômios são contínuos em \mathbb{R}) e que haja troca de sinal em extremos de subintervalos.

Passo 2

Aplicamos o TVI no intervalo [-2,-1]. Primeiro, calculamos
f(-2) = (-2)^{5} - 5(-2)^{4} + 8 = -32 - 5\cdot 16 + 8 = -32 - 80 + 8 = -104 < 0,
f(-1) = (-1)^{5} - 5(-1)^{4} + 8 = -1 - 5\cdot 1 + 8 = -1 - 5 + 8 = 2 > 0.
Como f(-2) e f(-1) têm sinais opostos e f é contínua, existe c_{1}\in(-2,-1) tal que f(c_{1})=0.

Passo 3

Agora aplicamos o TVI no intervalo [0,2]. Calculamos
f(0) = 0^{5} - 5\cdot 0^{4} + 8 = 8 > 0,
f(2) = 2^{5} - 5\cdot 2^{4} + 8 = 32 - 5\cdot 16 + 8 = 32 - 80 + 8 = -40 < 0.
De novo há troca de sinal e f contínua, logo existe c_{2}\in(0,2) tal que f(c_{2})=0.

Resposta

Existem pelo menos duas soluções de x^{5}-5x^{4}+8=0 em (-2,2), uma em (-2,-1) e outra em (0,2).

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