Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{\sqrt{3 x^{2}+4 x+2}-1}{\sqrt{x^{2}+3 x+6}-2}\

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{3x^{2}+4x+2}-1}{\sqrt{x^{2}+3x+6}-2}.
Ao substituir x=-1 diretamente, o numerador e o denominador ficam iguais a zero, ou seja, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar a técnica de multiplicar numerador e denominador pelos conjugados, explorando a diferença de quadrados.

Passo 2

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pelo seu conjugado \sqrt{3x^{2}+4x+2}+1:
\frac{\sqrt{3x^{2}+4x+2}-1}{\sqrt{x^{2}+3x+6}-2} = \frac{\bigl(\sqrt{3x^{2}+4x+2}-1\bigr)\bigl(\sqrt{3x^{2}+4x+2}+1\bigr)} {\bigl(\sqrt{x^{2}+3x+6}-2\bigr)\bigl(\sqrt{3x^{2}+4x+2}+1\bigr)}.
No numerador usa-se (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}:
(\sqrt{3x^{2}+4x+2})^{2}-1^{2} =3x^{2}+4x+2-1 =3x^{2}+4x+1.
Logo o numerador vira
3x^{2}+4x+1 \over \sqrt{3x^{2}+4x+2}+1.

Passo 3

Analogamente, racionalizamos o denominador original multiplicando e dividindo pelo conjugado \sqrt{x^{2}+3x+6}+2:
\sqrt{x^{2}+3x+6}-2 \quad\longrightarrow\quad (\sqrt{x^{2}+3x+6}-2)(\sqrt{x^{2}+3x+6}+2) =x^{2}+3x+6-4 =x^{2}+3x+2.
Observe que
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Portanto o denominador após racionalizar fica
(x+1)(x+2) \over \sqrt{x^{2}+3x+6}+2.

Passo 4

Reescrevendo toda a expressão, depois das duas racionalizações, temos
\frac{3x^{2}+4x+1}{\sqrt{3x^{2}+4x+2}+1} \;\Big/\; \frac{(x+1)(x+2)}{\sqrt{x^{2}+3x+6}+2}.
Dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo inverso, e notamos que 3x^{2}+4x+1 fatoriza-se como
3x^{2}+4x+1=3(x+1)\Bigl(x+\tfrac13\Bigr).
Cancelamos o fator (x+1) comum ao numerador e ao denominador, obtendo
\frac{3\,(x+\tfrac13)}{\sqrt{3x^{2}+4x+2}+1} \;\times\; \frac{\sqrt{x^{2}+3x+6}+2}{\,x+2\,}.
Como 3(x+\tfrac13)=3x+1, a expressão simplificada é
\frac{3x+1}{\sqrt{3x^{2}+4x+2}+1}\;\cdot\; \frac{\sqrt{x^{2}+3x+6}+2}{x+2}.

Passo 5

Agora podemos substituir x=-1 sem indeterminação. Calculamos cada parte:
3x+1\big|_{x=-1}=3(-1)+1=-2, \quad \sqrt{3x^{2}+4x+2}\big|_{x=-1}=\sqrt{1}=1, \quad \sqrt{x^{2}+3x+6}\big|_{x=-1}=\sqrt{4}=2, \quad x+2\big|_{x=-1}=1.
Substituindo, fica
\frac{-2}{1+1}\;\times\;\frac{2+2}{1} =\frac{-2}{2}\times 4 =-1\times 4 =-4.

Resposta

-4

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