Exercício 16. Encontre cada limite a seguir, se existir. Caso contrário, explique por que ele não existe e, se for um limite infinito, diga de que tipo é.
Passo 1
O enunciado pede
Ao substituir
diretamente, o numerador e o denominador ficam iguais a zero, ou seja, temos uma indeterminação do tipo
. Para resolver, vamos usar a técnica de multiplicar numerador e denominador pelos conjugados, explorando a diferença de quadrados.
Passo 2
Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pelo seu conjugado
:
No numerador usa-se
:
Logo o numerador vira
Passo 3
Analogamente, racionalizamos o denominador original multiplicando e dividindo pelo conjugado
:
Observe que
Portanto o denominador após racionalizar fica
Passo 4
Reescrevendo toda a expressão, depois das duas racionalizações, temos
Dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo inverso, e notamos que
fatoriza-se como
Cancelamos o fator
comum ao numerador e ao denominador, obtendo
Como
, a expressão simplificada é
Passo 5
Agora podemos substituir
sem indeterminação. Calculamos cada parte:
Substituindo, fica