Exercício 13: Seja
uma sequiência em
tal que
. Prove ou dê um contra-exemplo para a seguinte afirmação:
.
Passo 1
Temos uma sequência
em
tal que
. A questão pergunta se disso segue que
. Precisamos decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Para construir um contra-exemplo, definimos a sequência de forma que salte entre dois valores, mas que se repita a cada dois passos. Assim, tome
para todo
.
Passo 3
Calculamos primeiro
: como
, segue que
. Logo
Passo 4
para todo
, o que implica
, satisfazendo a hipótese.
Passo 5
Agora analisamos
:
Passo 6
de onde
Passo 7
para todo
. Assim
Passo 8
Portanto, a sequência
satisfaz
mas não faz
, mostrando que a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo clássico é a sequência
, para a qual
mas
.