Exercício 13: Seja R uma sequiência em tal que . Prove ou dê um contra-exemplo para a seguinte afirmação: .

Passo 1

Temos uma sequência (xn) em R tal que limntoinfty|xn+2-xn|=0. A questão pergunta se disso segue que limntoinfty|xn+1-xn|=0. Precisamos decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Para construir um contra-exemplo, definimos a sequência de forma que salte entre dois valores, mas que se repita a cada dois passos. Assim, tome xn = (-1)^n para todo ninN.

Passo 3

Calculamos primeiro xn+2: como (-1)^n+2=(-1)^n, segue que xn+2=xn. Logo
|xn+2-xn|=0

Passo 4

para todo n, o que implica limntoinfty|xn+2-xn|=0, satisfazendo a hipótese.

Passo 5

Agora analisamos xn+1-xn:
xn+1-xn = (-1)^n+1-(-1)^n = -2(-1)^n,

Passo 6

de onde
|xn+1-xn| = 2

Passo 7

para todo n. Assim
limntoinfty|xn+1-xn| = 2 neq 0

Passo 8

Portanto, a sequência xn = (-1)^n satisfaz lim|xn+2-xn|=0 mas não faz lim|xn+1-xn|=0, mostrando que a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo clássico é a sequência xn=(-1)^n, para a qual lim|xn+2-xn|=0 mas lim|xn+1-xn|=2neq0.

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