Exercício 13 Sejam gamma, beta: I R^n duas curvas tais que
lim t t0 gamma(t)=0 e |beta(t)| <= M
Mostre que lim t t0lang<=gamma(t), beta(t)rang<==0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se temos duas curvas gamma,beta: ItoR^n com gamma(t)to0 em tto t0 e |beta(t)|<= M, então lang<=gamma(t),beta(t)rang<=to0. O conteúdo envolve limites em R^n e a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 2

A desigualdade de Cauchy-Schwarz afirma que, para quaisquer vetores x,yinR^n, vale
|lang<= x,yrang<=|<=|x|cdot|y|.
Aplicando a x=gamma(t) e y=beta(t), obtemos
|lang<=gamma(t),beta(t)rang<=|<=|gamma(t)|cdot|beta(t)|.

Passo 3

Como temos |beta(t)|<= M, segue
|lang<=gamma(t),beta(t)rang<=|<= M,|gamma(t)|.
Ou seja, o valor absoluto do produto interno é controlado por M|gamma(t)|.

Passo 4

Como |gamma(t)|to0 quando tto t0, o produto M,|gamma(t)| também vai a zero. Logo
|lang<=gamma(t),beta(t)rang<=|to0
e, por definição de limite, temos lang<=gamma(t),beta(t)rang<=to0.

Resposta

0

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