Exercício 13. Simplifique as seguintes expressões:
\frac{\frac{x-2}{y}}{\frac{z}{x+2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\frac{x-2}{y}}{\frac{z}{x+2}}.
Informações/dados relevantes que podemos extrair: os denominadores não podem ser zero, portanto \;y\neq 0,\;z\neq 0 e também \;x\neq -2 (porque aparece x+2 no denominador da fração do divisor). Esses são os únicos cuidados sobre domínio que precisamos ter em mente.

Passo 2

Regra que vamos usar: dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo recíproco dessa fração. Em forma geral:
\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c},
desde que b\neq0 e c\neq0. Isso vem do fato de que \frac{c}{d} tem recíproco \frac{d}{c}, e multiplicar pela recíproca desfaz a divisão.

Passo 3

Aplicando essa regra à expressão dada, trocamos a divisão pela multiplicação pelo recíproco do divisor:
\frac{\frac{x-2}{y}}{\frac{z}{x+2}} = \frac{x-2}{y}\cdot\frac{x+2}{z}.

Passo 4

Agora multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador:
\frac{x-2}{y}\cdot\frac{x+2}{z} = \frac{(x-2)(x+2)}{y z}.
Aqui usei a propriedade básica de multiplicação de frações: \frac{p}{q}\cdot\frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}.

Passo 5

Reconheça que (x-2)(x+2) é uma diferença de quadrados. A identidade é
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Tomando a=x e b=2, obtemos
(x-2)(x+2)=x^2-4.

Passo 6

Substituindo no resultado do Passo 4, obtemos a forma simplificada final:
\frac{(x-2)(x+2)}{y z} = \frac{x^2-4}{y z},
com as restrições de domínio mencionadas no Passo 1: \;y\neq0,\;z\neq0,\;x\neq-2.

Resposta

\displaystyle \frac{x^2-4}{y z}

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