Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável x :
\frac{5^{x^{2}}}{5^{2 x}}=125

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a equação exponencial na variável x:
\frac{5^{x^{2}}}{5^{2x}}=125
Informações dadas (explicitando tudo que aparece no enunciado):
  • Base da exponencial no numerador e denominador: 5.
  • Expoentes envolvidos: x^{2} no numerador e 2x no denominador.
  • O lado direito é o número 125.

Passo 2

Regra de potências que vamos usar: para qualquer base positiva a e expoentes m,n,
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Explicação rápida dessa regra: dividir potências de mesma base equivale a subtrair os expoentes porque a^{m}=a^{n}\cdot a^{m-n}. Exemplo simples: \dfrac{2^{5}}{2^{3}}=2^{5-3}=2^{2}=4.

Passo 3

Aplicando essa regra à expressão do lado esquerdo da equação:
\frac{5^{x^{2}}}{5^{2x}}=5^{x^{2}-2x}.
Portanto a equação fica
5^{x^{2}-2x}=125.

Passo 4

Reescrever o 125 como potência de 5. Como 5^{3}=125, temos
5^{x^{2}-2x}=5^{3}.

Passo 5

Agora usar o fato de que a função a^{t} (com a>0 e a\neq1) é injetora: se a^{u}=a^{v} então u=v. Aqui a=5 satisfaz a>0 e a\neq1, logo podemos igualar os expoentes:
x^{2}-2x=3.

Passo 6

Reescrever como uma equação quadrática e resolver:
x^{2}-2x-3=0.
Tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto é -3 e soma é -2. Esses números são -3 e 1. Assim
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Logo
(x-3)(x+1)=0.

Passo 7

Das soluções dos fatores, obtemos
x-3=0\quad\Rightarrow\quad x=3,
x+1=0\quad\Rightarrow\quad x=-1.

Passo 8

Conferência rápida (sempre bom checar na prova): substituir na equação original.
  • Para x=3: x^{2}=9 e 2x=6, então \dfrac{5^{9}}{5^{6}}=5^{9-6}=5^{3}=125. OK.
  • Para x=-1: x^{2}=1 e 2x=-2, então \dfrac{5^{1}}{5^{-2}}=5^{1-(-2)}=5^{3}=125. OK.

Resposta

x=3
x=-1

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