Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável
:
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver a equação exponencial na variável
:
Informações dadas (explicitando tudo que aparece no enunciado):
- Base da exponencial no numerador e denominador:
. - Expoentes envolvidos:
no numerador e no denominador. - O lado direito é o número
.
Passo 2
Regra de potências que vamos usar: para qualquer base positiva
e expoentes
,
Explicação rápida dessa regra: dividir potências de mesma base equivale a subtrair os expoentes porque
. Exemplo simples:
.
Passo 3
Aplicando essa regra à expressão do lado esquerdo da equação:
Portanto a equação fica
Passo 4
Reescrever o
como potência de
. Como
, temos
Passo 5
Agora usar o fato de que a função
(com
e
) é injetora: se
então
. Aqui
satisfaz
e
, logo podemos igualar os expoentes:
Passo 6
Reescrever como uma equação quadrática e resolver:
Tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto é
e soma é
. Esses números são
e
. Assim
Logo
Passo 7
Das soluções dos fatores, obtemos
Passo 8
Conferência rápida (sempre bom checar na prova): substituir na equação original.
- Para
: e , então . OK. - Para
: e , então . OK.