Exercício 14. Seja X \sim \mathscr{N}(5,4). Determine
P(X \leq-1).

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com distribuição normal X\sim\mathscr{N}(5,4) e pede o valor de P(X\le -1).
Informações relevantes do enunciado:
  • A média (esperança) é \mu=5 (peguei isso de X\sim\mathscr{N}(5,4)).
  • A variância é \sigma^{2}=4 (peguei isso de X\sim\mathscr{N}(5,4)).
  • O desvio-padrão é \sigma=\sqrt{4}=2 (calculei a raiz da variância).
  • A probabilidade que queremos é P(X\le -1).

Passo 2

Conceito e técnica que vamos usar (aulas rápidas e práticas).
  • A distribuição normal geral \mathscr{N}(\mu,\sigma^{2}) tem média \mu e desvio-padrão \sigma.
  • Para calcular probabilidades com uma normal geral, usamos padronização para transformá-la na normal padrão Z\sim\mathscr{N}(0,1), porque tabelas e valores conhecidos são para essa Z.
  • A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde X é a variável original, \mu a média e \sigma o desvio-padrão. Após padronizar, probabilidades como P(X\le a) viram P\!\left(Z\le \dfrac{a-\mu}{\sigma}\right).
  • Explicando cada símbolo: X é a variável que temos; \mu é o centro da distribuição; \sigma mede a dispersão; Z é a nova variável com média 0 e variância 1.

Passo 3

Aplicando a padronização ao problema concreto.
Queremos P(X\le -1). Usando \mu=5 e \sigma=2,
P(X\le -1)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le \frac{-1-5}{2}\right).
Calcule o numerador:
-1-5 = -6.
Então o valor padronizado é
\frac{-6}{2} = -3.
Portanto
P(X\le -1)=P(Z\le -3),
onde Z\sim\mathscr{N}(0,1).

Passo 4

Como obter P(Z\le -3) usando a tabela da normal padrão ou a simetria.
  • Tabelas geralmente dão \Phi(z)=P(Z\le z) para z\ge 0. Para valores negativos, usamos a simetria da normal:
\Phi(-z)=1-\Phi(z)\quad\text{(para qualquer }z>0\text{)}.
  • Aqui z=3, então
P(Z\le -3)=\Phi(-3)=1-\Phi(3).

Passo 5

Valor numérico a partir da tabela (ou conhecimento padrão).
  • O valor padrão da tabela para \Phi(3) é \Phi(3)=0,99865 (valor conhecido/tabela da normal padrão).
  • Usando a relação anterior:
\Phi(-3)=1-\Phi(3)=1-0,99865=0,00135.

Passo 6

Interpretação final e incentivo.
  • O resultado é muito pequeno ( 0,00135), o que faz sentido: -1 está a 3 desvios-padrão à esquerda da média 5 (pois 5-3\cdot2=-1), e eventos a 3 desvios-padrão de distância da média são raros.
  • Você pode lembrar rapidamente: aproximadamente 0,13\% da massa está abaixo de 3 desvios-padrão à esquerda da média.

Resposta

P(X\le -1)=0,00135

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