Exercício 14. Seja
. Determine
.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
com distribuição normal
e pede o valor de
.
Informações relevantes do enunciado:
- A média (esperança) é
(peguei isso de ). - A variância é
(peguei isso de ). - O desvio-padrão é
(calculei a raiz da variância). - A probabilidade que queremos é
.
Passo 2
Conceito e técnica que vamos usar (aulas rápidas e práticas).
- A distribuição normal geral
tem média e desvio-padrão . - Para calcular probabilidades com uma normal geral, usamos padronização para transformá-la na normal padrão
, porque tabelas e valores conhecidos são para essa . - A fórmula de padronização é:
onde
é a variável original,
a média e
o desvio-padrão. Após padronizar, probabilidades como
viram
.
- Explicando cada símbolo:
é a variável que temos; é o centro da distribuição; mede a dispersão; é a nova variável com média e variância .
Passo 3
Aplicando a padronização ao problema concreto.
Queremos . Usando
e
,
Queremos
Calcule o numerador:
Então o valor padronizado é
Portanto
onde
.
Passo 4
Como obter
usando a tabela da normal padrão ou a simetria.
- Tabelas geralmente dão
para . Para valores negativos, usamos a simetria da normal:
- Aqui
, então
Passo 5
Valor numérico a partir da tabela (ou conhecimento padrão).
- O valor padrão da tabela para
é (valor conhecido/tabela da normal padrão). - Usando a relação anterior:
Passo 6
Interpretação final e incentivo.
- O resultado é muito pequeno (
), o que faz sentido: está a desvios-padrão à esquerda da média (pois ), e eventos a desvios-padrão de distância da média são raros. - Você pode lembrar rapidamente: aproximadamente
da massa está abaixo de desvios-padrão à esquerda da média.