Exercício 13. Verificar se as retas são concorentes e, em caso afirmativo, encontra o ponto de interseção
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\\ y=3-5 t \\\ z=-6-6 t\end{array}\right.
e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=-3+s h \\\ y=1+7 s \\\ z=-1+13 s\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as retas r_{1} e r_{2} em \mathbb{R}^{3} se interceptam (são concorrentes) e, se sim, achar o ponto comum. Este é um problema de interseção de retas paramétricas: vamos igualar as coordenadas e resolver para os parâmetros.

Passo 2

Escrevemos cada reta na forma ponto + parâmetr o\cdot direção. Para r_{1}:
r_{1}(t) = (2,3,-6) + t\,(-1,-5,-6),
ou seja vetor diretor \mathbf{v}_{1}=(-1,-5,-6).
Para r_{2}:
r_{2}(s) = (-3,1,-1) + s\,(1,7,13),
com vetor diretor \mathbf{v}_{2}=(1,7,13).

Passo 3

Para existir interseção, existem t e s tais que
(2,3,-6) + t(-1,-5,-6) \;=\;(-3,1,-1) + s(1,7,13).
Isto gera o sistema de três equações:
\begin{cases} 2 - t = -3 + s,\\\\ 3 - 5t = 1 + 7s,\\\\ -6 - 6t = -1 + 13s. \end{cases}

Passo 4

Das duas primeiras equações:
  1. 2 - t = -3 + s implica s = 5 - t.
  2. Substituindo em 3 - 5t = 1 + 7s
3 - 5t = 1 + 7(5 - t) = 1 + 35 - 7t =36 -7t \;\Longrightarrow\; 3 - 5t =36 -7t \;\Longrightarrow\; 2t =33 \;\Longrightarrow\; t = \tfrac{33}{2}.
Logo s = 5 - \tfrac{33}{2} = -\tfrac{23}{2}.

Passo 5

Verificamos na terceira equação:
\text{LHS} = -6 - 6t = -6 - 6\bigl(\tfrac{33}{2}\bigr) = -6 - 99 = -105,
\text{RHS} = -1 + 13s = -1 + 13\bigl(-\tfrac{23}{2}\bigr) = -1 - \tfrac{299}{2} = -\tfrac{301}{2} = -150{,}5.
Como -105 \neq -150{,}5, não há solução comum para as três equações.

Resposta

As retas não são concorrentes.

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