Exercício 15. Determina na reta
r:\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\\ y=t \\\ z=-1+2 t \end{array}\right.
um ponto equidistante dos pontos A(2,1,2) e B(1,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede um ponto P\) sobre a reta \[r:\begin{cases} x=2+t,\\\ y=t,\\\ z=-1+2t \end{cases}
tal que a distância de P\] a \(A(2,1,2) seja igual à distância de P a B(1,0,-1).
Conteúdo: geometria analítica no espaço e equação de reta paramétrica.

Passo 2

Seja
P(t)=(2+t,\;t,\;-1+2t).
As distâncias ao quadrado são
d_{PA}^2=(2+t-2)^2+(t-1)^2\;+\;(-1+2t-2)^2 =t^2+(t-1)^2+(2t-3)^2
e
d_{PB}^2=(2+t-1)^2+(t-0)^2+(-1+2t+1)^2 =(t+1)^2+t^2+(2t)^2.
Igualamos d_{PA}^2=d_{PB}^2.

Passo 3

Expandindo ambos os lados:
t^2+(t-1)^2+(2t-3)^2 =6t^2-14t+10,
(t+1)^2+t^2+4t^2 =6t^2+2t+1.
Logo
6t^2-14t+10 \;=\;6t^2+2t+1 \quad\Longrightarrow\quad -14t+10=2t+1 \quad\Longrightarrow\quad -16t=-9 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{9}{16}.

Passo 4

Substituindo t=\tfrac{9}{16} em P(t):
x=2+\tfrac{9}{16}=\tfrac{41}{16},\quad y=\tfrac{9}{16},\quad z=-1+2\cdot\tfrac{9}{16}=\tfrac{1}{8}.

Resposta

O ponto equidistante é \displaystyle\bigl(\tfrac{41}{16},\,\tfrac{9}{16},\,\tfrac{1}{8}\bigr).

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