Exercício 23. Determinar o ângula entre os seguintes planos
\Pi_{1}: x-y+4=0 e \Pi_{2}: 2 z-5=0;

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os planos \Pi_{1}:x-y+4=0 e \Pi_{2}:2z-5=0.
Para isso, vamos usar que o ângulo \theta entre dois planos é o mesmo ângulo entre seus vetores normais.

Passo 2

Identificamos os vetores normais de cada plano.
O plano \Pi_{1} tem normal \mathbf{n}_{1}=(1,-1,0).
O plano \Pi_{2} tem normal \mathbf{n}_{2}=(0,0,2).

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas desses vetores.
\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2} =1\cdot0+(-1)\cdot0+0\cdot2 =0.
\|\mathbf{n}_{1}\| =\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}} =\sqrt{2}, \quad \|\mathbf{n}_{2}\| =\sqrt{0^{2}+0^{2}+2^{2}} =2.

Passo 4

Usamos a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta =\frac{\bigl|\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}\bigr|} {\|\mathbf{n}_{1}\|\,\|\mathbf{n}_{2}\|} =\frac{0}{\sqrt{2}\,\cdot2} =0.
Logo
\theta =\operatorname{arccos}(0) =\frac{\pi}{2}.

Resposta

O ângulo entre os planos é \displaystyle \frac{\pi}{2} (ou 90^\circ).

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