Exercício 4 (2,5 pontos) Determine os autovalores e autovetores correspondentes da matriz:
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 2 & -3 \\\\ 4 & 0 & -3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores e os autovetores de uma matriz A. O conteúdo aqui é o conceito de autovalores e autovetores: para encontrar os autovalores \lambda resolvemos
\det(A - \lambda I)=0
e, em seguida, para cada raiz \lambda resolvemos
(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}
para obter os autovetores \mathbf{v}.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico. Primeiro escrevemos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 & 3 \\\\ 0 & 2 - \lambda & -3 \\\\ 4 & 0 & -3 - \lambda \end{pmatrix}.
Como a segunda coluna tem zeros em duas entradas, expandimos o determinante por essa coluna:
\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)\, \det\!\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 3 \\\\ 4 & -3 - \lambda \end{pmatrix}.
Agora
\det\!\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 3 \\\\ 4 & -3 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)(-3 - \lambda) - 12 = \lambda^{2} + 2\lambda - 15.
Portanto
\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)\bigl(\lambda^{2} + 2\lambda - 15\bigr).

Passo 3

Para achar os autovalores, igualamos o polinômio a zero:
(2 - \lambda)(\lambda^{2} + 2\lambda - 15) = 0.
As raízes são
\lambda = 2, \quad \lambda^{2} + 2\lambda - 15=0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 3,\,-5.

Passo 4

Autovetor para \lambda=2\). Montamos \[A - 2I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & -3 \\\\ 4 & 0 & -5 \end{pmatrix},
e resolvemos
\begin{cases} -\,x + 3z = 0,\\\\ -\,3z = 0,\\\\ 4x - 5z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem z=0\]. Então da primeira e da terceira segue \(x=0, e y é livre. Podemos escolher
\mathbf{v}_{1} = (0,1,0)^{T}.

Passo 5

Autovetor para \lambda=-5\). Montamos \[A + 5I = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\\\ 0 & 7 & -3 \\\\ 4 & 0 & 2 \end{pmatrix},
e resolvemos
\begin{cases} 6x + 3z = 0,\\\\ 7y - 3z = 0,\\\\ 4x + 2z = 0. \end{cases}
As duas primeiras dão z=-2x\] e \(y=\tfrac{3}{7}z=-\tfrac{6}{7}x. Escolhendo x=7, obtemos
\mathbf{v}_{2} = (7,\,-6,\,-14)^{T}.

Passo 6

Autovetor para \lambda=3\). Montamos \[A - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 3 \\\\ 0 & -1 & -3 \\\\ 4 & 0 & -6 \end{pmatrix},
e resolvemos
\begin{cases} -2x + 3z = 0,\\\\ -\,y - 3z = 0,\\\\ 4x - 6z = 0. \end{cases}
Da primeira vem x=\tfrac{3}{2}z\]; da segunda, \(y=-3z. Escolhendo z=2, obtemos
\mathbf{v}_{3} = (3,\,-6,\,2)^{T}.

Resposta

Autovalores e autovetores de A: \displaystyle \lambda_{1}=2, \mathbf{v}_{1}=(0,1,0)^{T} \displaystyle \lambda_{2}=-5, \mathbf{v}_{2}=(7,-6,-14)^{T} \displaystyle \lambda_{3}=3, \mathbf{v}_{3}=(3,-6,2)^{T}

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