Verificar, usando a definição de superfície regular, que o cilinfdro de raio r, isto é, o conjunto \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}, x^{2}+y^{2}=r^{2}\right\}, é uma superfície regular. É possível cobrir o cilindro com uma única vizinhança coordenada? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Verificar, usando a definição de superfície regular, que o cilindro de raio r,
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\},
é uma superfície regular.
  • Responder se é possível cobrir todo o cilindro com uma única vizinhança coordenada (ou seja, existe uma única parametrização que é um homeomorfismo suave de um aberto de \mathbb{R}^{2} sobre todo S?), com justificação.
Informações relevantes dadas:
  • O cilindro é o conjunto de pontos em \mathbb{R}^3 com x^{2}+y^{2}=r^{2} (fixo r>0).
  • Não há outras restrições; espera-se usar a definição de superfície regular (parametrização local por mapas de um aberto de \mathbb{R}^2 com diferencial de posto 2).

Passo 2

Lembrando (didaticamente) a definição de superfície regular que vamos usar:
  • Um subconjunto S\subset\mathbb{R}^3 é superfície regular se para cada ponto p\in S existe um aberto U\subset\mathbb{R}^2 e um mapa \Phi:U\to\mathbb{R}^3 de classe C^\infty tal que
    1. \Phi é homeomorfismo sobre \Phi(U) (com a topologia induzida em \mathbb{R}^3),
    2. \Phi(U) é uma vizinhança de p em S (isto é, contém p e abre em S),
    3. para todo (u,v)\in U a matriz diferencial \mathrm{d}\Phi_{(u,v)} tem posto 2 (equivalente: os vetores parciais \Phi_u,\Phi_v são linearmente independentes).
Vou aplicar essa definição ponto a ponto no cilindro.

Passo 3

Construção de uma parametrização local padrão e verificação da regularidade.
Sugestão natural de parametrização (coordenadas angulares e altura): definir
\Phi(\theta,z)=\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;z\big),
onde \theta é um ângulo e z é a coordenada ao longo do eixo do cilindro.
Explicando as variáveis:
  • \theta varia em um intervalo aberto de \mathbb{R} que representa a direção ao redor da circunferência
  • z varia em \mathbb{R} (altura).
Cálculo das derivadas parciais (aqui explico passo a passo):
  • Derivando em relação a \theta: \Phi_{\theta}(\theta,z)=\big(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0\big).Cada componente da tupla é a derivada da componente correspondente de \Phi em relação a \theta.
  • Derivando em relação a z: \Phi_{z}(\theta,z)=\big(0,\;0,\;1\big).
Verificação da independência linear:
  • Os vetores \Phi_{\theta} e \Phi_{z} são claramente linearmente independentes porque \Phi_{z} tem componente z igual a 1 enquanto \Phi_{\theta} tem componente z igual a 0; não existe escala \lambda tal que \Phi_{\theta}=\lambda\Phi_{z}. Portanto \mathrm{rank}(\mathrm{d}\Phi)=2 em todo ponto onde \Phi é definida.
  • Assim qualquer ponto do cilindro tem uma vizinhança parametrizável por alguma região do domínio de \Phi onde \Phi é injetiva (basta restringir \theta a um pequeno intervalo aberto que não dê voltas inteiras).
Injetividade local / cobertura de cada ponto:
  • A função \Phi com domínio U=(\theta_0-\varepsilon,\theta_0+\varepsilon)\times(z_0-\delta,z_0+\delta) (intervalos pequenos com \varepsilon<\pi, por exemplo) é injetiva e fornece um homeomorfismo suave sobre a imagem, que é uma vizinhança de (r\cos\theta_0,r\sin\theta_0,z_0) em S.
  • Logo, para cada ponto do cilindro existe tal par (\theta_0,z_0) e uma vizinhança local paramatrizada, satisfazendo os requisitos da definição. Isso prova que S é superfície regular.
Comentário intuitivo e encorajador: portanto o argumento padrão com coordenadas angulares + altura mostra que cada ponto do cilindro tem uma parametrização local suave com diferencial de posto 2 — exatamente o que precisamos para concluir que o cilindro é superfície regular.

Passo 4

Agora a questão: “É possível cobrir o cilindro com uma única vizinhança coordenada?” — irei construir explicitamente um único mapa definido em um aberto de \mathbb{R}^{2} que parametriza todo o cilindro e mostrar que é um difeomorfismo (assim um único cartão basta).
Idéia-chave (construção usando a identificação com o plano pontuado): considere o aberto
U=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\},
que é um aberto de \mathbb{R}^{2} (o plano sem a origem). Em coordenadas cartesianas (u,v) no plano, escreva \rho=\sqrt{u^{2}+v^{2}}>0. Defina o mapa \Psi:U\to S por
\Psi(u,v)=\Big(r\frac{u}{\rho},\;r\frac{v}{\rho},\;\ln\rho\Big).
Explico terminho a terminho:
  • \dfrac{u}{\rho}=\cos\theta e \dfrac{v}{\rho}=\sin\theta são as componentes angulares normalizadas; multiplicando por r coloca-se na circunferência de raio r.
  • O terceiro componente \ln\rho transforma o raio positivo \rho\in(0,\infty) numa coordenada z\in\mathbb{R}. Assim \Psi leva (u,v) (um ponto do plano não nulo) para um ponto do cilindro com mesma direção angular e com altura \ln\rho.
Verificação de que \Psi é bijetora e suave com inversa suave:
  • Defina \Phi^{-1}:S\to U por \Phi^{-1}(x,y,z)=e^{z}\Big(\frac{x}{r},\frac{y}{r}\Big).Aqui x^{2}+y^{2}=r^{2} para pontos de S, então \big(\tfrac{x}{r},\tfrac{y}{r}\big) é um ponto na circunferência unitária; multiplicando por e^{z}>0 obtém-se um ponto no plano com raio \rho=e^{z}>0, logo em U.
  • Composição \Phi^{-1}\circ\Psi: para (u,v)\in U temos \rho=\sqrt{u^{2}+v^{2}}, e \Phi^{-1}\big(\Psi(u,v)\big) =e^{\ln\rho}\Big(\frac{r\frac{u}{\rho}}{r},\frac{r\frac{v}{\rho}}{r}\Big) =\big(u,v\big).
  • Composição \Psi\circ\Phi^{-1}: para (x,y,z)\in S, \Psi\big(\Phi^{-1}(x,y,z)\big) =\Psi\!\Big(e^{z}\frac{x}{r},e^{z}\frac{y}{r}\Big) =\Big(r\frac{e^{z}\frac{x}{r}}{e^{z}},\,r\frac{e^{z}\frac{y}{r}}{e^{z}},\,\ln e^{z}\Big) =(x,y,z).
  • As fórmulas acima mostram que \Psi é bijetora e que \Psi^{-1}=\Phi^{-1} é dada por uma fórmula suave. A própria \Psi é expressão composta de funções suaves em U (raiz quadrada não nula, divisão por \rho, log, razões), logo é suave em U. Assim \Psi é um difeomorfismo entre o aberto U=\mathbb{R}^{2}\setminus\{0\} e todo o cilindro S.
Observação intuitiva sobre a periodicidade do ângulo:
  • O mapa angular-padrão (\theta,z)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta,z) tem periodicidade em \theta e por isso não é injetivo se \theta varre todo \mathbb{R}; por isso normalmente se usa várias cartas do tipo (\theta,z) com \theta restrito a intervalos para construir atlas localmente. Porém a construção com U=\mathbb{R}^{2}\setminus\{0\} “resgata” a liberdade da coordenada radial \rho e resolve a identificação angular pela normalização u/\rho,v/\rho, produzindo um único mapa definido em UM aberto do plano que é bijetivo e suave para todo o cilindro.

Passo 5

Conclusões finais (síntese e ponto de prova):
  • A construção local com \Phi(\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z) e a verificação de \Phi_{\theta} e \Phi_{z} linearmente independentes em uma vizinhança de cada ponto mostra que o cilindro satisfaz a definição de superfície regular.
  • A construção global \Psi: \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}\to S, \Psi(u,v)=\big(r\frac{u}{\rho},r\frac{v}{\rho},\ln\rho\big) com \rho=\sqrt{u^{2}+v^{2}}, mostra explicitamente que existe um único aberto de \mathbb{R}^{2} cujo image por um mapa suave é todo S e que esse mapa é difeomorfismo. Portanto é possível cobrir todo o cilindro com uma única vizinhança coordenada.

Resposta

O cilindro de raio r é uma superfície regular.
É possível cobrir todo o cilindro com uma única vizinhança coordenada; por exemplo, a aplicação
\Psi:\mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}\to S,\qquad \Psi(u,v)=\Big(r\frac{u}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}},\;r\frac{v}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}},\;\ln\sqrt{u^{2}+v^{2}}\Big),
é um difeomorfismo de \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\} sobre S, portanto uma única vizinhança coordenada basta.

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