Verificar, usando a definição de superfície regular, que o cilinfdro de raio
, isto é, o conjunto
, é uma superfície regular. É possível cobrir o cilindro com uma única vizinhança coordenada? Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Verificar, usando a definição de superfície regular, que o cilindro de raio
,
é uma superfície regular.
- Responder se é possível cobrir todo o cilindro com uma única vizinhança coordenada (ou seja, existe uma única parametrização que é um homeomorfismo suave de um aberto de
sobre todo ?), com justificação.
Informações relevantes dadas:
- O cilindro é o conjunto de pontos em
com (fixo ). - Não há outras restrições; espera-se usar a definição de superfície regular (parametrização local por mapas de um aberto de
com diferencial de posto 2).
Passo 2
Lembrando (didaticamente) a definição de superfície regular que vamos usar:
- Um subconjunto
é superfície regular se para cada ponto existe um aberto e um mapa de classe tal que -
é homeomorfismo sobre (com a topologia induzida em ), -
é uma vizinhança de em (isto é, contém e abre em ), - para todo
a matriz diferencial tem posto (equivalente: os vetores parciais são linearmente independentes).
-
Vou aplicar essa definição ponto a ponto no cilindro.
Passo 3
Construção de uma parametrização local padrão e verificação da regularidade.
Sugestão natural de parametrização (coordenadas angulares e altura): definir
onde
é um ângulo e
é a coordenada ao longo do eixo do cilindro.
Explicando as variáveis:
-
varia em um intervalo aberto de que representa a direção ao redor da circunferência -
varia em (altura).
Cálculo das derivadas parciais (aqui explico passo a passo):
- Derivando em relação a
: Cada componente da tupla é a derivada da componente correspondente de em relação a . - Derivando em relação a
:
Verificação da independência linear:
- Os vetores
e são claramente linearmente independentes porque tem componente igual a enquanto tem componente igual a ; não existe escala tal que . Portanto em todo ponto onde é definida. - Assim qualquer ponto do cilindro tem uma vizinhança parametrizável por alguma região do domínio de
onde é injetiva (basta restringir a um pequeno intervalo aberto que não dê voltas inteiras).
Injetividade local / cobertura de cada ponto:
- A função
com domínio (intervalos pequenos com , por exemplo) é injetiva e fornece um homeomorfismo suave sobre a imagem, que é uma vizinhança de em . - Logo, para cada ponto do cilindro existe tal par
e uma vizinhança local paramatrizada, satisfazendo os requisitos da definição. Isso prova que é superfície regular.
Comentário intuitivo e encorajador: portanto o argumento padrão com coordenadas angulares + altura mostra que cada ponto do cilindro tem uma parametrização local suave com diferencial de posto 2 — exatamente o que precisamos para concluir que o cilindro é superfície regular.
Passo 4
Agora a questão: “É possível cobrir o cilindro com uma única vizinhança coordenada?” — irei construir explicitamente um único mapa definido em um aberto de
que parametriza todo o cilindro e mostrar que é um difeomorfismo (assim um único cartão basta).
Idéia-chave (construção usando a identificação com o plano pontuado): considere o aberto
que é um aberto de
(o plano sem a origem). Em coordenadas cartesianas
no plano, escreva
. Defina o mapa
por
Explico terminho a terminho:
-
e são as componentes angulares normalizadas; multiplicando por coloca-se na circunferência de raio . - O terceiro componente
transforma o raio positivo numa coordenada . Assim leva (um ponto do plano não nulo) para um ponto do cilindro com mesma direção angular e com altura .
Verificação de que
é bijetora e suave com inversa suave:
- Defina
por Aqui para pontos de , então é um ponto na circunferência unitária; multiplicando por obtém-se um ponto no plano com raio , logo em . - Composição
: para temos , e - Composição
: para , - As fórmulas acima mostram que
é bijetora e que é dada por uma fórmula suave. A própria é expressão composta de funções suaves em (raiz quadrada não nula, divisão por , log, razões), logo é suave em . Assim é um difeomorfismo entre o aberto e todo o cilindro .
Observação intuitiva sobre a periodicidade do ângulo:
- O mapa angular-padrão
tem periodicidade em e por isso não é injetivo se varre todo ; por isso normalmente se usa várias cartas do tipo com restrito a intervalos para construir atlas localmente. Porém a construção com “resgata” a liberdade da coordenada radial e resolve a identificação angular pela normalização , produzindo um único mapa definido em UM aberto do plano que é bijetivo e suave para todo o cilindro.
Passo 5
Conclusões finais (síntese e ponto de prova):
- A construção local com
e a verificação de e linearmente independentes em uma vizinhança de cada ponto mostra que o cilindro satisfaz a definição de superfície regular. - A construção global
, com , mostra explicitamente que existe um único aberto de cujo image por um mapa suave é todo e que esse mapa é difeomorfismo. Portanto é possível cobrir todo o cilindro com uma única vizinhança coordenada.
Resposta
O cilindro de raio
é uma superfície regular.
É possível cobrir todo o cilindro com uma única vizinhança coordenada; por exemplo, a aplicação
É possível cobrir todo o cilindro com uma única vizinhança coordenada; por exemplo, a aplicação
é um difeomorfismo de
sobre
, portanto uma única vizinhança coordenada basta.