Exercício 14. Aplique a regra do quociente para obter
se
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para obter a derivada
.\n
Informações relevantes fornecidas:\n
Informações relevantes fornecidas:\n
- A função é
.\n - Devemos calcular
.\n - Observação sobre domínio: como há divisão por
, temos que (ou seja, não pode ser pontos onde ).\n
Passo 2
Lembrando a regra do quociente (que o enunciado pediu para aplicar): se
e
são funções diferenciáveis e
, então\n
Aqui
significa a derivada de
em relação a
e
a derivada de
em relação a
. Em palavras: “deriva o numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado”. Isso é a fórmula que vamos usar passo a passo.
Passo 3
Identificamos, a partir de
, as funções\n
Passo 4
Precisamos das derivadas de
e
.\n
Derivada de : uma forma direta de ver
é escrever
e aplicar a regra do quociente para essa função. Faço isso rapidamente:\n
Derivada de
Portanto
.\n
Derivada de : é um fato básico que
. Então
.
Derivada de
Passo 5
Agora aplicamos a regra do quociente com
:\n
Vou simplificar o numerador passo a passo.
Passo 6
Simplificando o numerador:\n
Primeiro termo: \n
Segundo termo: \n
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando os dois termos (mesmo denominador
) obtemos\n
Portanto\n
Passo 7
Dividindo pelo
do denominador (ou seja, multiplicando por
) temos\n
Opcionalmente, podemos escrever em termos de secante:
. Mas a forma
está bem clara.