Exercício 14. Aplique a regra do quociente para obter f^{\prime}(x) se f(x)=\frac{\tan x}{\cos x}.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{\tan x}{\cos x} e pede para obter a derivada f'(x).\n
Informações relevantes fornecidas:\n
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{\tan x}{\cos x}.\n
  • Devemos calcular \displaystyle f'(x).\n
  • Observação sobre domínio: como há divisão por \cos x, temos que \displaystyle \cos x\neq 0 (ou seja, x não pode ser pontos onde \cos x=0).\n

Passo 2

Lembrando a regra do quociente (que o enunciado pediu para aplicar): se \displaystyle u=u(x) e \displaystyle v=v(x) são funções diferenciáveis e \displaystyle v(x)\neq 0, então\n \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui \displaystyle u' significa a derivada de \displaystyle u em relação a x e \displaystyle v' a derivada de \displaystyle v em relação a x. Em palavras: “deriva o numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado”. Isso é a fórmula que vamos usar passo a passo.

Passo 3

Identificamos, a partir de \displaystyle f(x)=\frac{\tan x}{\cos x}, as funções\n u(x)=\tan x,\qquad v(x)=\cos x.

Passo 4

Precisamos das derivadas de u e v.\n
Derivada de u(x)=\tan x: uma forma direta de ver \displaystyle (\tan x)'=\operatorname{sec}^2 x é escrever \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e aplicar a regra do quociente para essa função. Faço isso rapidamente:\n
(\tan x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' =\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} =\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Portanto \displaystyle u'(x)=\operatorname{sec}^2 x.\n
Derivada de v(x)=\cos x: é um fato básico que (\cos x)'=-\sin x. Então \displaystyle v'(x)=-\sin x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente com u,\;v,\;u',\;v':\n
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2} =\frac{\operatorname{sec}^2 x\cdot\cos x-\tan x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}.
Vou simplificar o numerador passo a passo.

Passo 6

Simplificando o numerador:\n
Primeiro termo: \displaystyle \operatorname{sec}^2 x\cdot\cos x=\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\cos x=\frac{1}{\cos x}.\n
Segundo termo: \displaystyle -\tan x\cdot(-\sin x)=\tan x\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\sin x=\frac{\sin^2 x}{\cos x}.\n
Somando os dois termos (mesmo denominador \cos x) obtemos\n \operatorname{sec}^2 x\cos x+\tan x\sin x=\frac{1}{\cos x}+\frac{\sin^2 x}{\cos x}=\frac{1+\sin^2 x}{\cos x}.
Portanto\n f'(x)=\frac{\dfrac{1+\sin^2 x}{\cos x}}{\cos^2 x}.

Passo 7

Dividindo pelo \cos^2 x do denominador (ou seja, multiplicando por \dfrac{1}{\cos^2 x}) temos\n
f'(x)=\frac{1+\sin^2 x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{1+\sin^2 x}{\cos^3 x}.
Opcionalmente, podemos escrever em termos de secante: \displaystyle f'(x)=(1+\sin^2 x)\operatorname{sec}^3 x. Mas a forma \displaystyle \dfrac{1+\sin^2 x}{\cos^3 x} está bem clara.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1+\sin^2 x}{\cos^3 x}

Exercícios relacionados