Questão 2 [25 pontos] Calcule a integral \oint_{C} F \cdot d r, onde F(x, y)=\left(\frac{x^{2} y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, \frac{-x^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right), em que C é a elipse 9 x^{2}+4 y^{2}=36, orientada no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\displaystyle \oint_{C}F\cdot d r,
onde
F(x,y)=\Bigl(\frac{x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\,-\frac{x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\Bigr)
e C é a elipse 9x^{2}+4y^{2}=36 orientada no sentido horário.
Para resolver, vamos parametrizar C adequadamente e reduzir a integral a uma integral sobre t\in[0,2\pi], depois avaliá-la usando um truque de diferenciação sob o sinal de integral.

Passo 2

Escolhemos a parametrização que dá sentido horário:
x(t)=2\cos t,\quad y(t)=-3\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Então
x'(t)=-2\sin t, \quad y'(t)=-3\cos t,
e
dr=(x'(t),y'(t))\,dt.

Passo 3

Em C, definimos
D(t)=x(t)^{2}+y(t)^{2}=4\cos^{2}t+9\sin^{2}t.
Os componentes de F valem
P(t)=\frac{x^{2}y}{D^{2}} =-\frac{12\cos^{2}t\sin t}{D(t)^{2}}, \quad Q(t)=-\frac{x^{3}}{D^{2}} =-\frac{8\cos^{3}t}{D(t)^{2}}.
Logo o integrando é
F\cdot d r =\bigl(P\,x'+Q\,y'\bigr)\,dt =\Bigl(-\tfrac{12\cos^{2}t\sin t}{D^{2}}\cdot(-2\sin t) +-\tfrac{8\cos^{3}t}{D^{2}}\cdot(-3\cos t)\Bigr)\,dt.

Passo 4

Simplificando o integrando:
P\,x'+Q\,y' =\frac{24\cos^{2}t\sin^{2}t+24\cos^{4}t}{D^{2}} =\frac{24\cos^{2}t(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}{D^{2}} =\frac{24\cos^{2}t}{\bigl(4\cos^{2}t+9\sin^{2}t\bigr)^{2}}.
Portanto
\oint_{C}F\cdot dr =\int_{0}^{2\pi}\frac{24\cos^{2}t}{\bigl(4\cos^{2}t+9\sin^{2}t\bigr)^{2}}\,dt.

Passo 5

Para avaliar
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{\cos^{2}t}{(a\cos^{2}t+b\sin^{2}t)^{2}}\,dt,
definimos
I(a,b)=\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{a\cos^{2}t+b\sin^{2}t},
sabendo que
I(a,b)=\frac{2\pi}{\sqrt{a\,b}}.
Derivando em a obtém-se
\frac{\partial I}{\partial a} =-\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos^{2}t\,dt}{(a\cos^{2}t+b\sin^{2}t)^{2}} =\frac{\partial}{\partial a}\Bigl(\frac{2\pi}{\sqrt{ab}}\Bigr) =-\frac{\pi}{\sqrt{b}\,a^{3/2}}.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos^{2}t\,dt}{(a\cos^{2}t+b\sin^{2}t)^{2}} =\frac{\pi}{\sqrt{b}\,a^{3/2}}.

Passo 6

No nosso caso a=4 e b=9, então
\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos^{2}t}{(4\cos^{2}t+9\sin^{2}t)^{2}}\,dt =\frac{\pi}{\sqrt{9}\,(4)^{3/2}} =\frac{\pi}{3\cdot 8} =\frac{\pi}{24}.
Multiplicando por 24, vem
\oint_{C}F\cdot dr =24\cdot\frac{\pi}{24} =\pi.

Resposta

\pi

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