Questão 2 [25 pontos] Calcule a integral
, onde
, em que
é a elipse
, orientada no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
,
onde
onde
e
é a elipse
orientada no sentido horário.
Para resolver, vamos parametrizar adequadamente e reduzir a integral a uma integral sobre
, depois avaliá-la usando um truque de diferenciação sob o sinal de integral.
Para resolver, vamos parametrizar
Passo 2
Escolhemos a parametrização que dá sentido horário:
Então
e
Passo 3
Em
, definimos
Os componentes de
valem
Logo o integrando é
Passo 4
Simplificando o integrando:
Portanto
Passo 5
Para avaliar
,
definimos
definimos
sabendo que
Derivando em
obtém-se
Logo
Passo 6
No nosso caso
e
, então
Multiplicando por 24, vem