Exercicio 6. Sejam \vec{u}=(1,2,-3) e \vec{v}=(-3,5,2), calcule:
a) O produto escalar de \vec{u} e \vec{v}
b) \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|
c) O ângulo entre \vec{u} e \vec{v}
d) O vetor unitário na direção e sentido de \vec{u}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2,-3) e \vec{v}=(-3,5,2) e pede:
  • (a) o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v};
  • (b) as normas \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|;
  • (c) o ângulo entre eles;
  • (d) o vetor unitário na direção de \vec{u}.
    Para isso vamos usar as fórmulas
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3,
\|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2},
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|},
e
\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}.

Passo 2

Calcular o produto escalar
\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot(-3) + 2\cdot 5 + (-3)\cdot 2 = -3 + 10 - 6 = 1.

Passo 3

Calcular as normas
\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14},
\|\vec{v}\| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}.

Passo 4

Determinar o ângulo \theta via a fórmula do cosseno
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|} = \frac{1}{\sqrt{14}\,\sqrt{38}} = \frac{1}{\sqrt{532}} = \frac{1}{2\sqrt{133}}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{133}}\bigr) \approx 1{,}53\text{ rad}\;\approx 87{,}5^\circ.

Passo 5

Obter o vetor unitário na direção de \vec{u}:
\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \frac{1}{\sqrt{14}}\,(1,2,-3) = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,\tfrac{2}{\sqrt{14}},\,-\tfrac{3}{\sqrt{14}}\Bigr).

Resposta

a) \vec{u}\cdot\vec{v} = 1
b) \|\vec{u}\| = \sqrt{14}, \|\vec{v}\| = \sqrt{38}
c) \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{133}}\bigr)\approx 1{,}53\text{ rad}\approx 87{,}5^\circ
d) \hat{u} = \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,\tfrac{2}{\sqrt{14}},\,-\tfrac{3}{\sqrt{14}}\bigr)

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