Exercício 2.16. Use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
e
é a curva de interseção do plano
e do cilindro
, orientada no sentido horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule
onde
é a curva de interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido horário quando vista de cima. Para isso vamos usar o Teorema de Stokes, que em
diz
onde
é qualquer superfície cujo bordo seja
, e
é o vetor normal unitário compatível com a orientação de
. Como só aparecem duas componentes em
, interpretamos
Passo 2
Vamos calcular o rotacional
. Por definição,
Como
,
não depende de
e
, obtemos
Passo 3
Escolhemos como superfície
o disco planar dado por
Precisamos do vetor área orientado de forma que o bordo
fique orientado horário visto de cima. Como a orientação padrão “positivo” (regra da mão direita) gera contorno anti-horário para um normal com componente
, devemos inverter o normal. No caso do gráfico
, o vetor de área (não unitário) é
Para que a orientação de
seja horário visto de cima, tomamos
Passo 4
Pela Stokes,
onde
é o disco
no plano
. Logo
Assim
Passo 5
No disco
temos por simetria
e
Portanto