Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{4}=1.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a superfície dada por
\frac{x^{2}}{25} + \frac{z^{2}}{4} = 1
e fazer um estudo de seus traços. Note que não há y na equação, ou seja, a curva no plano xz se “repete” para todo y. Isso caracteriza um cilindro cujo eixo é paralelo ao eixo y. Vamos então analisar os cortes (traços) dessa superfície em planos do tipo y = k, x = a e z = b.

Passo 2

Traço em planos y=k. Se y=k então a equação permanece
\frac{x^{2}}{25} + \frac{z^{2}}{4} = 1.
Isso é exatamente a equação de uma elipse de semieixo maior 5 (direção x) e semieixo menor 2 (direção z). Conclusão: todo plano paralelo a xz corta a superfície numa elipse.

Passo 3

Traço em planos x=a. Substituindo x=a na equação obtém-se
\frac{a^{2}}{25} + \frac{z^{2}}{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{z^{2}}{4} = 1 - \frac{a^{2}}{25}.
Se \lvert a\rvert > 5 não há pontos de interseção. Se \lvert a\rvert \le 5, então
z = \pm 2\,\sqrt{1 - \frac{a^{2}}{25}},
e y é livre. Logo cada plano vertical x=a (com \lvert a\rvert\le5) corta a superfície em duas retas paralelas ao eixo y, nos níveis z= constante.

Passo 4

Traço em planos z=b. De modo análogo, com z=b vem
\frac{x^{2}}{25} = 1 - \frac{b^{2}}{4}.
Se \lvert b\rvert > 2 não há interseção; se \lvert b\rvert \le 2,
x = \pm 5\,\sqrt{1 - \frac{b^{2}}{4}},
e y permanece livre. Cada plano z=b (com \lvert b\rvert\le2) corta em duas retas paralelas a y.

Passo 5

Em resumo, a superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo a y\). Uma parametrização conveniente é \[\begin{cases} x = 5\cos t,\\\ z = 2\sin t,\\\ y = s, \end{cases} \quad t\in[0,2\pi),\;s\in\mathbb{R}.
O gráfico é uma “casca” cilíndrica elíptica que se estende indefinidamente ao longo do eixo (y].

Resposta

A superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo a y, com seção transversal no plano xz dada pela elipse
\frac{x^{2}}{25} + \frac{z^{2}}{4} = 1,
e parametrização
(x,y,z) = \bigl(5\cos t,\;s,\;2\sin t\bigr),\quad t\in[0,2\pi),\;s\in\mathbb{R}.

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