Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a superfície dada por
e fazer um estudo de seus traços. Note que não há
na equação, ou seja, a curva no plano
se “repete” para todo
. Isso caracteriza um cilindro cujo eixo é paralelo ao eixo
. Vamos então analisar os cortes (traços) dessa superfície em planos do tipo
,
e
.
Passo 2
Traço em planos
. Se
então a equação permanece
Isso é exatamente a equação de uma elipse de semieixo maior
(direção
) e semieixo menor
(direção
). Conclusão: todo plano paralelo a
corta a superfície numa elipse.
Passo 3
Traço em planos
. Substituindo
na equação obtém-se
Se
não há pontos de interseção. Se
, então
e
é livre. Logo cada plano vertical
(com
) corta a superfície em duas retas paralelas ao eixo
, nos níveis
constante.
Passo 4
Traço em planos
. De modo análogo, com
vem
Se
não há interseção; se
,
e
permanece livre. Cada plano
(com
) corta em duas retas paralelas a
.
Passo 5
Em resumo, a superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo a
O gráfico é uma “casca” cilíndrica elíptica que se estende indefinidamente ao longo do eixo (y].
Resposta
A superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo a
, com seção transversal no plano
dada pela elipse
e parametrização