Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{y^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{4}=1.

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da superfície em \mathbb{R}^3 definida por
\frac{y^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{4}=1,
ou seja, um estudo de traços dessa superfície. O conteúdo envolvido é o de superfícies cilíndricas e traços em planos coordenados.

Passo 2

Traço no plano x=x_{0}. Como a equação não depende de x, em cada plano x=x_{0} o conjunto de pontos satisfaz
\frac{y^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{4}=1,
que é uma elipse de semieixos 5 (eixo y) e 2 (eixo z).

Passo 3

Traço no plano y=y_{0}. Substituindo y=y_{0} obtém-se
\frac{y_{0}^{2}}{25} + \frac{z^{2}}{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{z^{2}}{4} = 1 - \frac{y_{0}^{2}}{25}.
Se \lvert y_{0}\rvert\le 5, então
z = \pm 2\,\sqrt{1 - \frac{y_{0}^{2}}{25}},
e cada valor de z gera uma reta paralela ao eixo x. Se \lvert y_{0}\rvert>5, não há pontos reais.

Passo 4

Traço no plano z=z_{0}. Substituindo z=z_{0} vem
\frac{y^{2}}{25} + \frac{z_{0}^{2}}{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{z_{0}^{2}}{4}.
Se \lvert z_{0}\rvert\le 2, então
y = \pm 5\,\sqrt{1 - \frac{z_{0}^{2}}{4}},
e cada valor de y gera uma reta paralela ao eixo x. Se \lvert z_{0}\rvert>2, não há pontos reais.

Passo 5

Como em todo plano x=x_{0} temos sempre a mesma elipse e os traços em planos y=\text{const} e z=\text{const} são retas paralelas a x, concluímos que a superfície é um cilindro elíptico cujo eixo é paralelo ao eixo x e cuja seção transversal no plano yz é a elipse \frac{y^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{4}=1.

Resposta

A superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo x, com seção transversal no plano yz dada pela elipse
\frac{y^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{4}=1.

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