Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede o gráfico da superfície em
definida por
ou seja, um estudo de traços dessa superfície. O conteúdo envolvido é o de superfícies cilíndricas e traços em planos coordenados.
Passo 2
Traço no plano
. Como a equação não depende de
, em cada plano
o conjunto de pontos satisfaz
que é uma elipse de semieixos
(eixo
) e
(eixo
).
Passo 3
Traço no plano
. Substituindo
obtém-se
Se
, então
e cada valor de
gera uma reta paralela ao eixo
. Se
, não há pontos reais.
Passo 4
Traço no plano
. Substituindo
vem
Se
, então
e cada valor de
gera uma reta paralela ao eixo
. Se
, não há pontos reais.
Passo 5
Como em todo plano
temos sempre a mesma elipse e os traços em planos
e
são retas paralelas a
, concluímos que a superfície é um cilindro elíptico cujo eixo é paralelo ao eixo
e cuja seção transversal no plano
é a elipse
.
Resposta
A superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo
, com seção transversal no plano
dada pela elipse