Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da superfície definida por
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1
e apresentar um estudo de traços, ou seja, as curvas de interseção dessa superfície com planos como z=z_{0}, x=x_{0} e y=y_{0}. O conteúdo é o de superfícies cilíndricas e estudo de seções em planos coordenados.

Passo 2

Traço com o plano horizontal z=z_{0}: basta substituir z=z_{0} na equação, que não envolve z. Logo em todo plano z=z_{0} vale
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Como os dois denominadores são iguais, essa é a equação de um círculo de raio 2 centrado em (0,0,z_{0}).

Passo 3

Traço com o plano vertical x=x_{0}: colocamos x=x_{0} na equação e obtemos
\frac{y^{2}}{4}=1-\frac{x_{0}^{2}}{4}.
Se \lvert x_{0}\rvert\le2, então
y=\pm\sqrt{4 - x_{0}^{2}},
e a interseção é o par de retas paralelas ao eixo z situadas em y=\pm\sqrt{4 - x_{0}^{2}}. Se \lvert x_{0}\rvert>2, não há pontos de interseção.

Passo 4

Traço com o plano vertical y=y_{0}: de modo análogo, fixando y=y_{0} vem
\frac{x^{2}}{4}=1-\frac{y_{0}^{2}}{4},
portanto, para \lvert y_{0}\rvert\le2,
x=\pm\sqrt{4 - y_{0}^{2}},
e de novo temos duas retas paralelas ao eixo z.

Passo 5

Juntando tudo:
  • Em cada plano z=\text{const} aparece um círculo de raio 2.
  • Em cada plano x=\text{const} (dentro de \lvert x\rvert\le2) ou y=\text{const} (dentro de \lvert y\rvert\le2) aparecem retas paralelas a z.
Isso caracteriza exatamente um cilindro circular reto de raio 2 cujo eixo é o eixo z.

Resposta

A superfície é um cilindro circular reto de raio 2 com eixo paralelo ao eixo z; seus traços em planos z=z_{0} são círculos de raio 2 e em planos x=x_{0} ou y=y_{0} são duas retas paralelas ao eixo z.

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