Exercício 14 - Construa o gráfico da superfície cilíndrica dada pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da superfície definida por
e apresentar um estudo de traços, ou seja, as curvas de interseção dessa superfície com planos como
,
e
. O conteúdo é o de superfícies cilíndricas e estudo de seções em planos coordenados.
Passo 2
Traço com o plano horizontal
: basta substituir
na equação, que não envolve
. Logo em todo plano
vale
Como os dois denominadores são iguais, essa é a equação de um círculo de raio
centrado em
.
Passo 3
Traço com o plano vertical
: colocamos
na equação e obtemos
Se
, então
e a interseção é o par de retas paralelas ao eixo
situadas em
. Se
, não há pontos de interseção.
Passo 4
Traço com o plano vertical
: de modo análogo, fixando
vem
portanto, para
,
e de novo temos duas retas paralelas ao eixo
.
Passo 5
Juntando tudo:
- Em cada plano
aparece um círculo de raio . - Em cada plano
(dentro de ) ou (dentro de ) aparecem retas paralelas a .
Isso caracteriza exatamente um cilindro circular reto de raio
cujo eixo é o eixo
.
Resposta
A superfície é um cilindro circular reto de raio
com eixo paralelo ao eixo
; seus traços em planos
são círculos de raio
e em planos
ou
são duas retas paralelas ao eixo
.