Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
\frac{1}{1!}+\frac{1 \cdot 11}{3!}+\cdots+\frac{1 \cdot 11 \cdot 21 \cdots(10 n-9)}{(2 n-1)!}+\cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série cuja soma é
\frac{1}{1!}+\frac{1\cdot11}{3!}+\frac{1\cdot11\cdot21}{5!}+\cdots+\frac{1\cdot11\cdot21\cdots(10n-9)}{(2n-1)!}+\cdots
Vamos identificar o termo geral. Para n\ge1 defina
a_n=\frac{\prod_{k=1}^{n}(10k-9)}{(2n-1)!}.
Observações extraídas do enunciado:
  • O primeiro termo corresponde a n=1: \prod_{k=1}^{1}(10k-9)=1 e (2\cdot1-1)!=1!, logo a_1=\dfrac{1}{1!}.
  • O segundo termo corresponde a n=2: \prod_{k=1}^{2}(10k-9)=1\cdot11 e (2\cdot2-1)!=3!, etc.
    O que o problema pede é determinar se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge ou diverge.

Passo 2

Vou usar o Teste da Razão (criterium de d’Alembert), que é muito prático quando aparecem produtos e fatoriais. O enunciado do teste é:
se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
então
  • se L<1 a série \sum a_n converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Como todos os a_n são positivos, podemos trabalhar diretamente com \dfrac{a_{n+1}}{a_n} sem valor absoluto.

Passo 3

Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Usando a definição de a_n,
a_{n+1}=\frac{\prod_{k=1}^{n+1}(10k-9)}{(2(n+1)-1)!}=\frac{\prod_{k=1}^{n}(10k-9)\cdot(10(n+1)-9)}{(2n+1)!}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(10k-9)\cdot(10(n+1)-9)}{(2n+1)!}\cdot\frac{(2n-1)!}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(10k-9)}.
Cancelando \prod_{k=1}^{n}(10k-9) obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{10(n+1)-9}{(2n+1)!}\cdot(2n-1)! =\frac{10n+1}{(2n+1)(2n)}.
Aqui usei a fatoração (2n+1)!=(2n+1)(2n)(2n-1)!.

Passo 4

Agora vamos calcular o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{10n+1}{(2n+1)(2n)}.
Desenvolvendo o denominador temos (2n+1)(2n)=4n^2+2n, então
\frac{10n+1}{(2n+1)(2n)}=\frac{10n+1}{4n^2+2n}.
Dividindo numerador e denominador por n^2 (ou observando a ordem dos termos) fica claro que o numerador cresce como O(n) e o denominador como O(n^2). Formalmente,
\frac{10n+1}{4n^2+2n}=\frac{10/n+1/n^2}{4+2/n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Portanto L=0.

Passo 5

Como o limite da razão L é 0, que é estritamente menor que 1, o Teste da Razão garante que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples; assim a série converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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