Vamos identificar o termo geral. Para n\ge1 defina
a_n=\frac{\prod_{k=1}^{n}(10k-9)}{(2n-1)!}.
Observações extraídas do enunciado:
O primeiro termo corresponde a n=1: \prod_{k=1}^{1}(10k-9)=1 e (2\cdot1-1)!=1!, logo a_1=\dfrac{1}{1!}.
O segundo termo corresponde a n=2: \prod_{k=1}^{2}(10k-9)=1\cdot11 e (2\cdot2-1)!=3!, etc.
O que o problema pede é determinar se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge ou diverge.
Passo 2
Vou usar o Teste da Razão (criterium de d’Alembert), que é muito prático quando aparecem produtos e fatoriais. O enunciado do teste é:
se existir o limite
Desenvolvendo o denominador temos (2n+1)(2n)=4n^2+2n, então
\frac{10n+1}{(2n+1)(2n)}=\frac{10n+1}{4n^2+2n}.
Dividindo numerador e denominador por n^2 (ou observando a ordem dos termos) fica claro que o numerador cresce como O(n) e o denominador como O(n^2). Formalmente,
Como o limite da razão L é 0, que é estritamente menor que 1, o Teste da Razão garante que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples; assim a série converge.