Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem: \quad \frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt[3]{10}}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{10}}+\cdots
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada cujos termos são
A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série.
Passo 2
Lembrete importante (teste necessário para convergência): se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge, então o termo geral a_n deve tender a zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n=0.
Este é um teste rápido e muitas vezes salvador na prova: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), então a série necessariamente diverge. Vou usar esse teste aqui porque é o caminho mais direto.
Explicação curta do porquê: se os termos não vão para zero, ao somar infinitos termos não se pode obter um número finito — os termos finais continuam contribuindo com tamanho não-nulo e impedem a convergência das somas parciais.
Passo 3
Calcular o limite do termo geral. Primeiro observe que