Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
\quad \frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt[3]{10}}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{10}}+\cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada cujos termos são
a_n=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{10}}=\frac{(-1)^{n}}{10^{1/n}},
e pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{10}}
converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^{n}}{10^{1/n}}.
  • A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série.

Passo 2

Lembrete importante (teste necessário para convergência): se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge, então o termo geral a_n deve tender a zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n=0.
Este é um teste rápido e muitas vezes salvador na prova: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), então a série necessariamente diverge. Vou usar esse teste aqui porque é o caminho mais direto.
Explicação curta do porquê: se os termos não vão para zero, ao somar infinitos termos não se pode obter um número finito — os termos finais continuam contribuindo com tamanho não-nulo e impedem a convergência das somas parciais.

Passo 3

Calcular o limite do termo geral. Primeiro observe que
\sqrt[n]{10}=10^{1/n}=e^{(\ln 10)/n}.
Como \ln 10 é constante, tem-se
\lim_{n\to\infty}10^{1/n}=\lim_{n\to\infty}e^{(\ln 10)/n}=e^{0}=1.
Logo a magnitude do termo é
|a_n|=\frac{1}{10^{1/n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Portanto os termos a_n não tendem a zero; de fato eles oscilam entre valores próximos de -1 e 1 quando n cresce, já que a_n = (-1)^n\cdot(1 + o(1)).

Passo 4

Aplicando o teste do Passo 2: como \lim_{n\to\infty} a_n não é 0 (nem mesmo existe), a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{10}}
não pode convergir. Conclusão: a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados