Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
\frac{2}{1}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{1 \cdot 5 \cdot 9}+\cdots+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots(6 n-7)(6 n-4)}{1 \cdot 5 \cdot 9 \cdots(8 n-11)(8 n-7)}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\frac{2}{1}+\frac{2\cdot5\cdot8}{1\cdot5\cdot9}+\cdots+\frac{2\cdot5\cdot8\cdots(6n-7)(6n-4)}{1\cdot5\cdot9\cdots(8n-11)(8n-7)}+\cdots
converge ou diverge. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Cada termo é um quociente de produtos com padrões aritméticos.
  • O primeiro termo é \dfrac{2}{1}.
  • O n-ésimo termo aparece com produtos que terminam em (6n-4) no numerador e (8n-7) no denominador.
    A tarefa é decidir convergência ou divergência desta série de termos positivos.

Passo 2

Primeiro vou escrever uma fórmula explícita para o n-ésimo termo a_n (para n\ge1). Observando os fatores do numerador: 2,5,8,\dots,(6n-4) são termos de progressão aritmética com diferença 3. Podemos indexar esses fatores por m=1,2,\dots,2n-1 porque
3m-1=2,5,8,\dots,3(2n-1)-1=6n-4.
Logo o numerador é \prod_{m=1}^{2n-1}(3m-1).
Do mesmo modo, os fatores do denominador 1,5,9,\dots,(8n-7) são termos com diferença 4. Indexando por k=1,2,\dots,2n-1 obtemos
4k-3=1,5,9,\dots,4(2n-1)-3=8n-7.
Portanto o denominador é \prod_{k=1}^{2n-1}(4k-3).
Concluímos que o n-ésimo termo é
a_n=\prod_{t=1}^{2n-1}\frac{3t-1}{4t-3}.

Passo 3

Escolhendo o método: como a série tem termos positivos dados por produtos que crescem com n, o Teste da Razão (critério da razão) é uma boa escolha — ele costuma ser simples e direto quando os termos são produtos ou fatorial-like. Vou aplicar o critério da razão:
Teorema (critério da razão para séries de termos positivos): se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existe, então
  • se L<1 a série \sum a_n converge;
  • se L>1 diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui os a_n são positivos, então o critério é aplicável diretamente.

Passo 4

Calcular a razão r_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Como
a_n=\prod_{t=1}^{2n-1}\frac{3t-1}{4t-3}, \qquad a_{n+1}=\prod_{t=1}^{2(n+1)-1}\frac{3t-1}{4t-3}=\prod_{t=1}^{2n+1}\frac{3t-1}{4t-3},
vemos que a_{n+1} difere de a_n apenas por dois fatores (os de índices t=2n e t=2n+1). Assim
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(3(2n)-1)(3(2n+1)-1)}{(4(2n)-3)(4(2n+1)-3)}.
Agora simplifico cada fator:
3(2n)-1=6n-1,\qquad 3(2n+1)-1=6n+2,
4(2n)-3=8n-3,\qquad 4(2n+1)-3=8n+1.
Portanto
r_n=\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(6n-1)(6n+2)}{(8n-3)(8n+1)}.

Passo 5

Calcular o limite L=\lim_{n\to\infty} r_n. Para isso factorizei o comportamento dominante em n; uma forma simples é dividir numerador e denominador por n^2:
r_n =\frac{(6-\dfrac{1}{n})(6+\dfrac{2}{n})}{(8-\dfrac{3}{n})(8+\dfrac{1}{n})}.
Tomando n\to\infty, os termos com 1/n vão a zero, então
L=\lim_{n\to\infty} r_n = \frac{6\cdot6}{8\cdot8}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}.
Ou alternativamente, comparar coeficientes de n^2: numerador \sim 36n^2, denominador \sim 64n^2, dando 36/64=9/16.

Passo 6

Interpretação do resultado do critério da razão: obtivemos
L=\frac{9}{16}<1.
Pelo critério da razão, isso implica que a série \sum a_n converge absolutamente. Como todos os termos a_n são positivos, isto significa simplesmente que a série converge.
Também é intuitivo: para n grande o termo a_{n+1} é aproximadamente \tfrac{9}{16} vezes a_n, ou seja a sequência de termos decai geometricamente, e somas de termos com razão geométrica menor que 1 convergem.

Resposta

A série converge (convergência absoluta, pelo critério da razão, com limite da razão igual a \tfrac{9}{16}).

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