Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações importantes extraídas do enunciado:
- Cada termo é um quociente de produtos com padrões aritméticos.
- O primeiro termo é
. - O
-ésimo termo aparece com produtos que terminam em no numerador e no denominador.
A tarefa é decidir convergência ou divergência desta série de termos positivos.
Passo 2
Primeiro vou escrever uma fórmula explícita para o
-ésimo termo
(para
). Observando os fatores do numerador:
são termos de progressão aritmética com diferença
. Podemos indexar esses fatores por
porque
Logo o numerador é
.
Do mesmo modo, os fatores do denominador
são termos com diferença
. Indexando por
obtemos
Portanto o denominador é
.
Concluímos que o
-ésimo termo é
Passo 3
Escolhendo o método: como a série tem termos positivos dados por produtos que crescem com
, o Teste da Razão (critério da razão) é uma boa escolha — ele costuma ser simples e direto quando os termos são produtos ou fatorial-like. Vou aplicar o critério da razão:
Teorema (critério da razão para séries de termos positivos): se
existe, então
- se
a série converge; - se
diverge; - se
o teste é inconclusivo.
Aqui os
são positivos, então o critério é aplicável diretamente.
Passo 4
Calcular a razão
. Como
vemos que
difere de
apenas por dois fatores (os de índices
e
). Assim
Agora simplifico cada fator:
Portanto
Passo 5
Calcular o limite
. Para isso factorizei o comportamento dominante em
; uma forma simples é dividir numerador e denominador por
:
Tomando
, os termos com
vão a zero, então
Ou alternativamente, comparar coeficientes de
: numerador
, denominador
, dando
.
Passo 6
Interpretação do resultado do critério da razão: obtivemos
Pelo critério da razão, isso implica que a série
converge absolutamente. Como todos os termos
são positivos, isto significa simplesmente que a série converge.
Também é intuitivo: para
grande o termo
é aproximadamente
vezes
, ou seja a sequência de termos decai geometricamente, e somas de termos com razão geométrica menor que
convergem.
Resposta
A série converge (convergência absoluta, pelo critério da razão, com limite da razão igual a
).